一种用于涉及分数拉普拉斯算子的方程的框架方法

《IMA Journal of Numerical Analysis》：A frame approach for equations involving the fractional Laplacian

基于加权经典正交多项式的分数拉普拉斯算子求解器构建及收敛性分析，提出适用于一维或二维无界域的数值方法，结合框架性质和隐式欧拉时间离散化，证明其在分数热方程中的收敛性，并验证了高阶Runge-Kutta方法及时间依赖系数的情况。

　　

摘要

对于应用于加权经典正交多项式的分数拉普拉斯算子，存在一些异常优雅的公式。我们利用这些结果，基于框架属性，构建了一个求解器，用于求解涉及任意幂次的分数拉普拉斯算子的方程。该求解器可以在一维或二维的无界域上应用。数值方法将解表示为加权经典正交多项式及其未加权对应多项式的展开形式，并特别扩展到了$s\in (0,1)$的情况。我们研究了这一函数族在解展开过程中的框架属性，并在标准框架条件下，对稳态方程给出了一个先验估计。此外，我们证明了当采用隐式欧拉时间离散化方法来求解分数热方程时，该方法能够达到预期的收敛阶数。我们将我们的求解器应用于多个示例，包括分数热方程（使用了最高六阶的龙格-库塔时间离散化）、具有时间依赖指数的分数热方程，以及一个二维问题；对于足够光滑的数据，在空间维度上观察到了谱收敛性。