基于旋转几何约束的条纹投影轮廓测量横向误差校正

《Optics and Lasers in Engineering》：Lateral error correction of fringe projection profilometry via rotational geometry constraint

　　

白雅静|倪宇波|傅帅|马璐瑶|孟兆宗|高楠|杨泽青|张国峰|赵宏伟|杨树明|张宗华

• •
  揭示空间轴向模糊性的根源在于非正交性。
• •
  构建代数旋转矩阵以消除横向漂移误差。
• •
  通过解耦求解实现低阶拟合的高精度结果。
• •
  在解决复杂位移耦合问题的同时保持点云密度。

引言

条纹投影轮廓测量法具有结构简单、精度高、分辨率高以及可进行非接触式全场测量的优点[[1], [2], [3], [4], [5], [6]]。用于获取三维信息的两种主要方法是相位高度模型和三角测量立体模型。相位高度模型能够直接建立相位与深度之间的像素级映射，从而生成密集连续的三维点云，该技术多应用于高精度变形测量、微观地形分析以及工业表面检测领域[[7], [8], [9]]。而三角测量方法则是通过匹配离散的编码特征来同时获取完整的X、Y、Z方向位移矢量，因此更适用于刚体位移和旋转运动的测量[10,11]。

相位高度模型依赖于精确的平面Z值，并利用扩展平面假设来解决X、Y平面坐标的问题，其精度在很大程度上取决于Z轴与参考平面之间的垂直度。为确保Z方向的校准精度，研究人员提出了多种模型[[12], [13], [14]]，包括线性模型、反线性模型、多项式拟合模型以及基于控制方程的模型[[15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22]]。这些方法都有一个共同的隐含假设，即全局坐标系是正交的，在这种假设下，多项式相位高度模型的主要残差误差来源于参考平面与深度轴之间的垂直度偏差。当正交性成立时，相位高度模型和三角测量模型的精度会趋于一致；一旦正交性被打破，跨轴耦合误差就会导致两者精度出现显著差异[[23], [24], [25], [26]]。然而，仅仅提高Z方向的校准精度并不足以消除由于投影几何非线性导致的横向坐标计算误差，因此如何完全解耦三维空间仍然是一个亟待解决的难题[[27], [28], [29]]。

目前已有多种横向坐标计算模型被提出[30,31]，包括基于针孔透视几何的控制方程模型[32,33]、基于严格共面约束的三角测量立体视觉模型[34,35]，以及基于深度解耦的横向多项式拟合模型[36,37]。但是，当被测物体同时发生变形和位置变化时，这些方法容易出现轴向位移耦合问题，从而导致位移计算精度大幅下降[38,39]。尽管有许多研究通过将共面几何约束嵌入相位高度映射中，将相位高度模型与三角测量模型相结合，以此优化空间对应关系[40,41]，但在复杂的耦合条件下，横向坐标计算精度与深度测量精度依然会相互制约。其根本原因在于空间轴向模糊性，即由于XY平面与Z轴非正交而导致的横向坐标与深度坐标之间的不匹配[42]。虽然激光准直仪或接触角传感器等高精度仪器可以部分弥补这种不匹配，但它们会受到空间布局限制、设备成本以及表面损伤风险和可能改变系统动态特性的附加质量等因素的制约。

为了解决这些局限性，本文提出了一种无需外部传感器或硬件改造的非接触式横向校正方法。该方法根据实际校准板法线与理想Z轴之间的角度偏差，构建基于罗德里格斯的旋转校正矩阵，从而形成一种代数补偿机制，从根本上消除跨轴投影误差。本文的主要贡献如下：（1）该旋转校正矩阵无需额外硬件即可实现三维坐标系的完全代数解耦；（2）在存在耦合位移变形的情况下，无论是对平面物体还是曲面物体，该方法都能将横向X轴位移的均方根误差降低83%–90%，相比未经校正的相位高度模型效果更为显著；（3）这种代数校正方式能够消除之前由高阶多项式项所承担的虚假跨轴耦合效应。第2节将介绍相位高度模型，第3节阐述基于平面几何约束和旋转校正矩阵的横向校正方法，第4节介绍验证实验结果，第5节分析其背后的作用机制，第6节对全文进行总结。

章节要点

FPP校准原理

如图1所示，标准的FPP系统由数字投影仪、相机、被测物体以及计算单元组成。投影仪会将编码后的条纹图案投射到物体表面，相机则捕获经过地形调制的条纹图像，随后相位高度模型便能根据这些图像计算出每个表面点 的三维空间坐标。

N步相位偏移法会投射$2\pi /N$的相位增量，从而依次获得

基于旋转模型的横向校正方法

为实现完全的代数解耦并消除系统性的几何偏差，本文构建了基于平面几何约束的空间旋转模型。其核心机制为刚体姿态重建：在三维空间中确定一个共同的旋转轴，将该倾斜的参考平面引导至理想的正交基准方向，如图3所示。

在深度位置i（i = 1, 2, …, N）处，相位偏移法和三角测量立体模型可分别重建初始的三维

实验部分

为验证由法线模糊性引起的跨轴耦合现象，并评估所提出的旋转校正矩阵的解耦效果，本文搭建了一套FPP测量系统。该系统由MARS-2621–42GTM/C工业相机、PRO4710A数字投影仪，以及定位精度达0.001毫米的GCD-203100M电动直线移动平台组成，具体结构如图4所示。系统的工作距离设置为500–600毫米。

为全面捕捉由

讨论部分

为进一步探究重投影机制对相位高度模型的影响，本研究比较了方程（2）中二阶到五阶模型的多项式参数向量a?与修正后的a?′之间的差异Δa?，分析了从像素坐标到不同阶数系数之间的映射变化情况。

图12(a–d)展示了不同多项式拟合阶数下Δa?的分布情况。这些分布呈现出了完全对称的

结论

本文提出了一种基于平面几何约束和旋转校正矩阵的条纹投影轮廓测量法的非接触式横向误差校正方法。该方法通过构建旋转校正矩阵，实现了XY平面与Z轴之间正交偏差的完全代数解耦，同时还结合了逐像素自适应多项式拟合技术，既发挥了相位高度模型在生成密集点云方面的优势，又实现了几何约束的校正。

资金支持

本研究得到了中国国家自然科学基金[项目编号：U2341275、52505598]、河北省教育厅科学研究项目[项目编号：JZX2024021]、河北省自然科学基金[项目编号：E2024202153、E2024202121]，以及河北省研究生创新能力培养计划[项目编号：CXZZBS2026026]的支持。

CRediT作者贡献说明

白雅静：论文撰写——初稿撰写、验证、方法设计、实验分析。倪宇波：论文撰写——审阅与编辑、方法设计、概念构思。傅帅：资源提供。马璐瑶：软件支持。孟兆宗：实验分析。高楠：验证工作。杨泽青：可视化处理。张国峰：验证工作。赵宏伟：验证工作、资源提供。杨树明：论文撰写——审阅与编辑、验证工作、项目监督。张宗华：论文撰写——审阅与编辑、项目监督、项目管理及资金筹集。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在任何可能影响本文研究结果的已知利益冲突或个人关系。