分数阶滤波器新框架：在信号与图像处理中实现鲁棒性能的创新方法

本文提出了一种在离散空间中直接构建分数阶滤波器的新框架，通过引入复数阶次α实现(mα)阶差分运算。研究发现当α实部绝对值超过阈值时滤波器呈现2-周期特性，通过启发式方法将α实部限制在[-1,1]区间。实验表明该框架构建的滤波器在合成数据序列上能鲁棒揭示局部极值点，在图像基准测试中相比传统整数阶滤波器（如LoG和Lap算子）能更好地抑制噪声同时保留边缘等细节信息，为信号处理领域提供了新的工具。

　　

Highlight

本文的亮点主要体现在以下三个方面：

• •
  创新点一：直接在离散空间提出易于实现的框架来构建实现(mα)阶差分的滤波器，理论分析表明有限长滤波器无法实现过高阶滤波，即当α实部绝对值较大时失去意义。
• •
  创新点二：新框架构建的滤波器输出通常包含实部和虚部，结合推导的相位和模量信息，比传统滤波器（如带高斯平滑的LoG或不带平滑的Lap算子）提供更丰富的滤波信息。
• •
  创新点三：合成数据测试显示在检测极值点方面具有优越性能，公开基准图像上的结果验证了其在抑制噪声同时检测图像边缘等有用信息方面的优异表现。

框架

对于离散数据序列X=[x₀,…,x_m]∈?^m+1，定义变换框架D_X^α∈?^m+1，其中每个分量d_h^α(X)由特定公式定义。当X中包含0且α实部R_e(α)<0时会出现奇点，通过强制定义0^α=0可使变换对所有α∈?成立。对框架进行归一化处理后，深入分析了构建的滤波器特性。

模拟与实验结果

本节通过启发式模拟确定α的取值范围，详细说明如何利用框架构建滤波器，并分别展示使用框架生成滤波器处理合成数据序列和公开基准图像的实验结果。

结论

在离散空间中成功构建了用于设计分数阶差分滤波器的新框架。该框架构建的长度为m+1的滤波器可实现(mα)阶差分运算（α为复数）。当激励序列对称时，滤波器分量分布呈现随α变化的2-周期性特征，且当|R_e(α)|较大时滤波器分量趋近于零，这解释了有限长滤波器无法实现过高阶滤波的内在机制。