基于谱Adomian分解法求解非线性角膜形变模型：一种高效高精度数值方法

《Kuwait Journal of Science》：Classical vs. spectral Adomian decomposition: A comparative solution of the strongly nonlinear corneal shape equation

本文针对描述角膜形变的非线性二阶常微分方程边值问题，提出了一种结合Adomian分解法（ADM）和Chebyshev谱方法（SADM）的高效数值求解方案。研究人员通过将非线性项分解为Adomian多项式序列，并利用谱方法的高精度离散化特性，成功获得了该强非线性问题的近似解析解。研究结果表明，SADM方法在多种参数条件下均表现出优异的收敛性和计算精度，为生物力学中复杂非线性模型的求解提供了新的有效工具，相关成果发表于《Kuwait Journal of Science》。

　　

角膜作为眼睛最外层的透明组织，其精确的几何形态对维持正常视觉功能至关重要。在眼科临床实践与研究中，准确描述角膜在外力（如眼内压）作用下的形变行为是一个基础且具有挑战性的生物力学问题。这一问题的数学模型通常归结为一个强非线性的二阶常微分方程边值问题（BVP），其形式为 h''(η) = a h(η) - b / √(1 + (h'(η))²)，并满足边界条件 h'(0) = 0 和 h(1) = 0。其中，参数 a 和 b 具有明确的物理意义，分别与角膜的材料特性及所受载荷相关。该方程的非线性项 √(1 + (h'(η))²) 使得寻求其精确解析解变得异常困难，而传统的数值方法在求解此类问题时也可能面临收敛性不佳或计算效率低下的困境。因此，发展一种能够高效、高精度求解此类非线性角膜形变模型的新型数值方法，对于深化理解角膜的生物力学特性及其在疾病状态下的变化具有重要的理论价值和应用前景。

为了应对这一挑战，研究人员在《Kuwait Journal of Science》上报道了他们将Adomian分解法（ADM）与Chebyshev谱方法相结合的新策略，即谱Adomian分解法（SADM），用于求解上述角膜形变模型。本研究的主要目标在于验证SADM方法在处理此类强非线性边值问题时的有效性、精度和收敛性。

研究人员开展此项研究主要依赖于几个关键的技术方法。核心是Adomian分解法（ADM），该方法将非线性问题分解为一系列线性子问题求解。其次是Chebyshev谱方法，用于实现高精度的空间离散化。此外，研究还涉及了详细的收敛性分析，以从理论上保证方法的可靠性。对于非线性项的处理，则依赖于Adomian多项式的系统计算。最后，通过将SADM的解与高精度的四阶龙格-库塔法（RK4）参考解进行对比，来评估方法的数值精度。

研究方法概述

本研究致力于求解描述角膜形状的非线性常微分方程。该方程本质上是非线性的，且定义在区间 [0, 1] 上，并配备特定的边界条件（在η=0处斜率为零，在η=1处函数值为零）。为解决此问题，研究采用了Adomian分解法（ADM）这一强大的解析-数值技术。ADM的核心思想是将解分解为一系列分量之和，并将非线性项表示为所谓的Adomian多项式。通过递归地求解一系列线性方程（每个方程对应一个解分量），最终逼近原非线性问题的解。为了提升计算效率和精度，本研究进一步将ADM与Chebyshev谱方法结合，形成了谱Adomian分解法（SADM）。该方法通过Chebyshev多项式在特定配置点（Gauss-Lobatto点）上对微分算子进行离散化，从而将微分方程转化为代数方程组进行求解。

Adomian分解法（ADM）的应用

通过ADM，研究人员将原问题的解表示为无穷级数 h(η) = Σ_n=0^∞h_n(η)。相应地，非线性项 N(h') = b / √(1 + (h')²) 被分解为Adomian多项式序列 Σ_n=0^∞A_n。通过将级数表达式代入原方程并匹配各项，可以得到一个递归的线性方程序列用于逐项确定 h_n(η)。论文详细计算了前六个Adomian多项式（A₀到 A₅）以及相应解分量（h₀(η) 到 h₅(η)）的解析表达式。这些表达式均为η的多项式，其系数依赖于参数a, b以及由边界条件确定的未知常数c = h(0)。常数c的值通过施加另一个边界条件h(1)=0来确定，这导致了一个关于c的非线性代数方程，需通过数值方法求解。

谱Adomian分解法（SADM）的构建

为了更高效、更精确地实现ADM过程，本研究引入了谱方法。首先，通过仿射变换将物理域η ∈ [0, 1] 映射到标准计算域x ∈ [-1, 1]。接着，将解分解为满足非齐次边界条件的函数H_m(η)和满足齐次边界条件的残差部分h_i(x)之和。通过对非线性项进行二阶泰勒展开，将方程转化为关于h_i(x)的线性算子、非线性剩余项和源项之和的形式。随后，在Chebyshev-Gauss-Lobatto配置点上对问题进行离散化，利用Chebyshev微分矩阵将微分运算转化为矩阵运算。最终，原问题被转化为一系列线性代数系统的求解问题，从而可以高效地计算出ADM的各个解分量。

收敛性分析

论文提供了ADM和SADM方法的严格收敛性分析。通过将边值问题重新表述为某个巴拿赫空间上的积分算子的不动点问题，研究人员证明了在参数满足条件γ = 2(a + b) < 1时，ADM是压缩映射，从而保证了其解的存在性、唯一性以及级数解的收敛性。对于SADM，其总误差被分解为ADM截断误差和谱近似误差之和。分析表明，由于ADM解分量是光滑函数，其谱近似误差具有指数级收敛速度，从而保证了SADM方法在增加配置点数目和ADM项数时能够收敛到精确解。

结果与讨论

研究选取了六组不同的参数（a, b）组合（案例1至6）来测试ADM和SADM的性能，这些参数覆盖了从弱非线性到强非线性的情况。对于每个案例，都通过数值求解确定了满足边界条件的常数c = h(0)的值。所有SADM计算均采用40个Chebyshev配置点（N=40）。由于无法获得精确解析解，研究使用高精度的四阶龙格-库塔法（RK4）生成了参考解，用于评估数值方法的精度。评估指标包括残差（衡量近似解满足原方程的程度）、绝对误差和相对误差。

数值结果表明，对于所测试的所有参数案例，SADM方法均能获得高精度的近似解。即使在不满足理论收敛条件γ < 1的案例（如案例4，其中a=2, b=2, γ=8）中，SADM依然表现出良好的收敛性，这说明该方法的实际应用范围可能比理论分析所保证的范围更广。通过比较不同阶数的ADM近似解，研究发现随着包含的ADM项数增加，近似解迅速收敛到参考解。此外，谱方法的引入显著提升了解在配置点处的计算精度，并且计算过程非常高效。

研究结论与意义

本研究成功地将Adomian分解法（ADM）与Chebyshev谱方法相结合，发展了一种名为谱Adomian分解法（SADM）的新型数值方法，用于求解描述角膜形变的非线性二阶常微分方程边值问题。理论分析和数值实验均证实了该方法的有效性和高精度。SADM的优势在于它既保留了ADM的解析特性，又发挥了谱方法指数级收敛的计算效率，特别适合于处理此类源于生物力学的强非线性模型。

该研究的意义在于：首先，为求解复杂的非线性角膜生物力学模型提供了一种强有力的计算工具，有助于更精确地模拟和理解角膜在外力作用下的力学响应。其次，所发展的SADM框架具有通用性，可推广至其他类型的非线性微分方程问题。最后，这项研究工作增进了对Adomian分解法与谱方法结合潜力的认识，为计算数学与生物医学工程的交叉研究提供了有价值的范例。总之，本研究不仅解决了角膜形变模型求解的具体问题，也为处理更广泛的科学和工程中的非线性问题开辟了新的途径。