复合振荡函数积分的高效计算方法与分析：Bessel函数与正弦复合振荡积分的新策略

《Mathematics and Computers in Simulation》：Efficient methods and analysis for computing integrals of composite oscillatory functions

本文针对含Bessel函数与正弦复合振荡的积分∫abf(x)Jv(Csin(ωx))dx（v∈Z, C∈R+）提出三种高效计算方法：基于Bessel函数级数展开的渐近方法、等距节点多项式插值法及Clenshaw-Curtis点Hermite插值法。通过误差分析和数值实验验证了方法在高频（ω?1）场景下的优越性能，为信号处理、波动理论等领域的振荡积分计算提供新方案。

　　

Highlights

渐近展开与渐近方法

根据文献[22, p. 360]，我们对任意整数v有J_v(z)的级数展开式。将其代入积分(1.1)后可得表达式：

I[f] = Σ_k=0^∞a_k(C,v)∫_a^bf(x)sin^k(ωx)dx

其中系数a_k(C,v)由Bessel函数展开式确定。鉴于sin函数的奇偶性会影响渐近展开结果，我们将根据v的奇偶性进行分类讨论。

关键积分∫₀^yx^αe^iωxdx的计算

定义核心积分Q(α,y)=∫₀^yx^αe^iωxdx，该积分将在第4、5节的插值法中发挥重要作用。我们提供四种计算方法：

1. 1.
   当α为非负整数时，通过α次分部积分可得精确表达式
2. 2.
   采用Meijer G函数、Gamma函数Γ(z)、不完全Gamma函数γ(a,z)、Beta函数B(x,y)及合流超几何函数₁F₁(a;b;z)进行特殊函数表示

插值求积法I的设计与分析

本节提出通过节点插值计算积分(1.1)的第一种方法。在区间[a,b]上选取一组互异节点{x_j}并指定重数{m_j}，构造满足Hermite插值条件p⁽ⁱ⁾(x_j)=f⁽ⁱ⁾(x_j)（0≤i≤m_j-1）的多项式p(x)。多项式次数为N=Σm_j-1。我们将根据v的奇偶性分别处理振荡核函数的特性。

插值求积法II及其误差分析

本节采用Clenshaw-Curtis点构建Hermite插值多项式，形成第二种求积法。选取Chebyshev点x_k=（b+a）/2+（b-a）cos（kπ/N）/2（k=0,...,N）作为插值节点，通过快速傅里叶变换(FFT)算法精确计算插值系数。插值多项式可表示为p(x)=Σ_k=0^Nc_kT_k(x)，其中T_k(x)为适应区间[a,b]的Chebyshev多项式。

数值算例

通过图表验证三种方法的有效性。所有实验在MATLAB 2023b中完成。在计算式(2.2)时，根据参数C调整级数截断项数：当C≤5时保留前15项（k_max=14）；当C>5时保留前25项（k_max=24）。

结论

本文提出的三种求积法能有效计算积分(1.1)。每种方法均给出以ω的负幂次表示的误差估计。数值算例表明，在节点数和重数较少的情况下，所有方法的计算精度均随ω增大而显著提升，完美验证了误差分析的理论预测。