几何代数在三相三线电路非对称建模中的应用：从复数方法到欧姆定律的拓展

《Mathematics and Computers in Simulation》：The Ohm’s Law for (non-symmetric) three-phase three-wire electrical circuits: From a complex-valued to a geometric algebra approach

本文推荐采用几何代数（GA）方法对非对称三相电路进行建模，通过构建几何阻抗（geometric impedance）将多输入多输出（MIMO）系统转化为单输入单输出（SISO）线性关系，突破了传统复数方法在非对称工况下需引入非线性算子的局限，为电力系统动态分析提供了更直观的数学框架。

　　

Highlight

三相电路的非对称负载

如图10所示的不对称三相负载中，目标是通过给定输入电压v_abc(t) = (v_a, v_b, v_c)^T = (u_a-u_r, u_b-u_r, u_c-u_r)^T来求解消耗电流i_abc(t) = (i_a, i_b, i_c)^T。

复数方法：

通过公式(16a)–(16b)可得复数阻抗（complex impedance）：

z_av(s) = (1/3)(R + Ls + 1/Cs)

z_un(s) = (1/6)(2/Cs - Ls - R) + j(√3/6)(R - Ls)

随后利用(19a)–(19b)推导出复数导纳（complex admittance）：

y_av(s) = (LCs2 + RCs + 1)/(RLCs2 + Ls + R)

y_un(s) = (LCs2 + RCs - 2)/[2(RLCs2 + Ls + R)] + j[√3(LCs2 - RCs)]/[2(RLCs2 + Ls + R)]

电流可通过复数运算直接求解。

几何代数（GA）方法

几何代数框架通过多向量（multivector）将αβ坐标系中的变量映射为几何变量：

x = c_ga(x_α + x_αe₁ - x_βe₂ + x_βe₁₂)

其中c_ga为幅值守恒系数（取1或1/2）。该变换通过线性算子T实现，使得非对称系统的阻抗关系被简化为单一的几何阻抗（geometric impedance）表达式，避免了复数方法中的共轭运算需求。

结论

本文通过对比复数方法与几何代数框架下的欧姆定律建模，揭示了几何代数在处理非对称三相电路时的独特优势：它将传统复数方法中复杂的非线性操作转化为直观的线性SISO（单输入单输出）关系，为电力系统分析提供了更简洁的数学工具。