基于LMI约束非线性模型预测控制的四旋翼无人机轨迹跟踪鲁棒控制方法

《Results in Engineering》：Constraint Nonlinear Model Predictive Control for Trajectory Tracking of a Quadrotor Using Linear Matrix Inequalities

本文针对四旋翼无人机非线性、欠驱动特性及运行约束下的轨迹跟踪控制难题，提出了一种基于线性矩阵不等式（LMI）的鲁棒非线性模型预测控制（NMPC）框架。研究通过凸LMI条件重构连续时间无限时域NMPC问题，采用二阶泰勒近似提升模型保真度，并显式处理不确定性、外部扰动及执行器饱和。仿真结果表明，相较于线性二次调节器（LQR）和传统MPC，所提MPC-LMI控制器在积分平方误差（ISE）和平均绝对误差（MAV）上分别平均降低66%和33%（相对于LQR）以及79%和37%（相对于传统MPC），展现出优异的控制性能和计算效率，为非线性系统控制提供了通用解决方案。

　　

四旋翼无人机（Quadrotor UAV）凭借其高机动性、结构简单和维护成本低等优势，在军事侦察、边境巡逻、灾害响应和电力线维护等领域展现出广阔的应用前景。然而，这类系统具有六自由度（三个平移和三个旋转）却仅由四个独立输入（四个旋翼转速）控制，这种固有的欠驱动（Under-actuated）特性使得其姿态和位置的控制变得异常复杂。此外，四旋翼动力学本质上的非线性、对外部扰动的高度敏感性以及物理执行机构的输入约束，都给传统线性控制方法（如线性二次调节器LQR和比例-积分-微分PID控制）带来了巨大挑战。虽然非线性控制技术如反馈线性化、滑模控制（SMC）和反步法控制等在一定程度上改善了性能，但它们往往难以系统性地处理约束问题，或者存在计算复杂、易产生抖振等问题。非线性模型预测控制（NMPC）因其能够显式处理系统约束和非线性而被视为一种有前景的方案，但其通常需要求解非凸优化问题，计算负担沉重，且易陷入局部最优。因此，如何设计一种既能保证鲁棒稳定性、又能满足输入约束，同时具备高计算效率的控制策略，成为当前四旋翼控制领域亟待解决的关键问题。

为了应对上述挑战，发表在《Results in Engineering》上的这项研究提出了一种创新的鲁棒NMPC框架，其核心是将连续时间无限时域NMPC问题转化为基于线性矩阵不等式（LMI）的凸优化问题。这种方法巧妙地规避了传统NMPC的非凸优化难题。研究的独特之处在于采用了二阶泰勒展开来近似非线性动力学，相较于常规的一阶线性化，能更精确地捕捉系统的高阶动态特性。此外，该控制设计直接考虑了参数不确定性、外部有界扰动以及执行器饱和等实际因素，并提供了严格的闭环稳定性保证。

为开展研究，作者主要运用了几个关键技术方法：首先，建立了四旋翼完整的非线性动力学模型，并将其分解为姿态/高度动力学（内环）和平移动力学（外环）两个子系统，采用内外环控制结构处理欠驱动问题。其次，基于李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论，将鲁棒NMPC控制器的存在性条件转化为一组凸的LMI约束。最终，通过求解一个以最小化性能指标上界为目标的LMI优化问题，在线实时计算状态反馈控制律。研究通过数值仿真，在存在参数不确定性和外部阶跃扰动的情况下，对提出的MPC-LMI控制器与精心调参的LQR和传统MPC进行了全面的性能对比评估。

动态表示与模型建立

研究首先详细推导了四旋翼的动力学模型。通过定义惯性坐标系和机体坐标系，利用牛顿-欧拉公式建立了包含平移和旋转运动的完整非线性微分方程。模型充分考虑了重力、旋翼推力、机体转矩、陀螺效应等关键物理因素。最终，系统被表达为一个12个状态变量的状态空间模型，并巧妙地分解为负责姿态和高度控制的内环子系统（M₁）和负责水平位置控制的外环子系统（M₂），为后续的分层控制设计奠定了基础。

LMI-based NMPC控制器设计

这是本研究的核心贡献。针对一类包含参数不确定性和Lipshitz连续非线性的系统，研究将连续时间无限时域NMPC问题重新表述。通过引入一个二次型李雅普诺夫函数，并将稳定性条件和输入约束（∥u(t)∥ ≤ u_max）转化为一组LMI条件（定理1）。求解该LMI优化问题即可得到保证系统渐近稳定的状态反馈控制律。与现有LMI-MPC方法多采用一阶线性化或Lipshitz常数近似不同，本研究采用了二阶泰勒展开来近似残差非线性项，从而获得了更高的模型精度。

仿真结果与讨论

仿真部分设置了两种场景来验证所提控制器的性能。场景一（参考跟踪）要求四旋翼跟踪复杂的时变轨迹（包括阶跃和正弦信号）。结果表明，MPC-LMI控制器在跟踪精度（积分平方误差ISE和平均绝对误差MAV）、响应速度（上升时间、调节时间）和超调量方面均显著优于LQR和传统MPC。平均而言，相对于LQR，ISE和MAV分别降低了66%和33%；相对于传统MPC，分别降低了79%和37%。场景二（抗干扰与鲁棒性）在系统参数发生显著摄动（如转动惯量J_x变化+75%，推力系数b变化-50%）并施加外部阶跃扰动的严苛条件下进行测试。MPC-LMI控制器展现了卓越的鲁棒性，能够快速抑制扰动（恢复时间<3秒），并保持极小的稳态误差（<0.01）和超调（<2%），而LQR和传统MPC则出现了严重的振荡和性能退化。此外，所有控制输入均被严格限制在预设的幅值范围内，证明了控制器处理约束的有效性。

综上所述，本研究成功开发了一种基于LMI的鲁棒NMPC策略，有效解决了四旋翼无人机在模型不确定性、外部扰动和输入约束下的高精度轨迹跟踪控制问题。理论分析和仿真实验均表明，该控制器不仅在 nominal 条件下性能优越，在存在显著参数摄动和外部干扰时也表现出极强的鲁棒性。其将非凸问题转化为凸LMI问题的核心思想，使得算法计算高效，易于在线实现。这项工作为一大类非线性系统的约束控制问题提供了一个具有理论保证和实用价值的解决方案，有望推动先进控制理论在无人系统等领域的实际应用。未来的研究方向包括在硬件在环（HIL）平台或嵌入式设备（如PX4飞控）上进行实验验证，以进一步评估其实时性能。