基于控制变量与分裂策略的多保真度模型高效统计矩估计方法及其在增材制造不确定性量化中的应用

《Additive Manufacturing》：Variance-reduced estimation of Third-order statistics using control variates with splitting

针对高保真度模型计算成本高昂的问题，本研究提出一种融合控制变量（Control Variates）与分裂（Splitting）策略的多保真度蒙特卡洛方法，通过整合低保真度模型数据显著提升统计矩（均值μ1′、方差μ2、三阶中心矩μ3）的估计效率。该方法在保证无偏性的同时将方差降低数个数量级，为工程不确定性量化提供了突破性计算框架。

　　

在工程设计与科学计算领域，高保真度（High-Fidelity, HF）模型虽能提供精确预测，但其巨大的计算成本严重制约了基于蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）的不确定性量化分析。尤其当需要估计高阶统计矩（如方差μ₂和三阶中心矩μ₃）时，传统方法需消耗海量计算资源。与此同时，尽管存在大量计算廉价但精度较低的低保真度（Low-Fidelity, LF）模型，如何有效利用这些模型提升HF模型的统计估计效率，同时保证估计的无偏性和稳定性，仍是亟待解决的核心难题。

针对这一挑战，本研究创新性地将控制变量（Control Variates, CV）与分裂（Splitting）策略相结合，构建了一套系统的多保真度统计矩估计框架。该方法通过数学证明和数值实验表明，在显著减少HF模型调用次数的前提下，能够无偏且高效地估计响应变量的前三级统计矩（均值、方差和偏度）。相关研究成果已发表于《Additive Manufacturing》期刊。

为验证方法的普适性和高效性，研究团队设计了基于多项式混沌展开（Polynomial Chaos Expansion, PCE）的数值算例和增材制造（Add材 Manufacturing）热力学实际工程案例。在数值算例中，通过构建具有明确相关性的HF和LF模型，验证了所提方法在估计均值、方差及三阶矩时的无偏性和方差的显著降低；在实际案例中，以激光粉末床熔融（Laser Powder Bed Fusion, LPBF）过程的热力学响应为对象，再次证实该方法能够有效利用低精度热模型提升高精度模型的统计估计效率。

关键技术方法主要包括：1）基于共享样本集和独立样本集的多层抽样策略，其中HF模型与所有LF模型共享n个样本点，每个LF模型另独立抽取m_?个样本点；2）控制变量法的优化参数求解，通过最小化估计量方差得到最优控制系数；3）三分裂（Splitting into three subsets）技术消除估计偏差，将样本集均分为三份并循环交叉计算以确保无偏性；4）针对高阶矩的协方差结构解析，推导了方差和三阶矩估计量的显式表达式及方差计算公式。

2.1 统计矩的无偏估计框架

通过引入控制变量估计量，将LF模型的预测误差作为校正项嵌入HF模型的矩估计中。对于均值估计，构建形式为μ?₁′^CV = μ?₁′(r;Θ_n) - α^?[μ?₁′(r?;Θ_n) - μ?₁′(r?;Θ_m)]的估计量，其中α为优化控制系数。针对该方法存在的有偏性问题，进一步采用三分裂策略将样本划分为三个互斥子集，通过交叉计算控制系数和矩估计值，最终输出三子集结果的平均值，数学证明该操作可彻底消除偏差。

2.2 方差与三阶矩的递推估计

基于相同框架，将控制变量法推广至方差和三阶中心矩的估计。方差估计量定义为μ?₂^CV+S = (1/3)∑_j=1³ μ?₂^CV,(j)，其中每个子估计量包含HF方差估计项和LF模型的协方差校正项。三阶矩估计采用类似结构，但涉及更复杂的高阶协方差项计算，需使用样本六阶矩进行无偏估计。

2.3 最优控制参数的解析解

通过最小化估计量方差，推导出最优控制参数的闭合解。对于均值估计，α^* = [A₃(r?;Θ_n) + A₄(r?;Θ_m)]^-1A₂(r,r?;Θ_n)，其中A₂为HF与LF估计量的协方差矩阵，A₃和A₄分别为LF模型在共享样本集和独立样本集上的协方差矩阵。该解析解确保估计量达到最小方差。

3.1 数值算例验证

通过二次多项式混沌展开模型验证方法的数学特性。设置HF模型为r(ξ) = 1 + ξ + ξ²，LF模型为r?(ξ) = 1 + 0.8ξ + 0.6ξ²，其中ξ服从标准正态分布。结果表明：在n=100、m=1000的样本量下，控制变量与分裂策略使均值估计方差降低达98%，方差估计误差减少90%以上，且所有估计量均通过无偏性检验。

3.2 增材制造热力学应用

以LPBF过程熔池深度预测为工程案例，高保真模型为三维瞬态热传导有限元模拟，低保真模型为简化的一维热传导解析解。实测数据显示：当HF样本量n=50、LF样本量m=5000时，与传统蒙特卡洛相比，所提方法将熔池深度方差估计的置信区间宽度缩小75%，计算时间减少两个数量级，同时保持估计偏差统计不显著。

本研究严格证明了控制变量与分裂策略结合的多保真度估计方法在数学上的无偏性和方差缩减特性。通过理论推导和实验验证，表明该方法可普遍适用于各类工程不确定性量化场景，特别是在计算资源有限的高阶矩估计问题中展现突出优势。对于增材制造等复杂物理过程，该方法为实现高效精准的不确定性分析提供了可靠路径，未来可扩展至非线性和动态系统建模领域。