非均匀弯曲通道流动中基于亚网格局部精确相干结构的空间推进方法

《Journal of Fluid Mechanics》：Spatial marching with subgrid-scale local exact coherent structures in non-uniformly curved channel flow

本研究针对缓慢流向发展的剪切流，提出了一种创新的多尺度空间推进方法（PCS），将控制大尺度演化的边界区域方程（BRE）与捕捉小尺度动力学的局部精确相干结构（ECS）相耦合。该方法成功构建了非均匀弯曲通道流中的时间周期有限振幅解，揭示了入口条件对动量输运和流动结构的显著影响，并为预测亚临界自持态提供了新途径。

　　

在流体力学领域，边界层、射流和尾流等具有缓慢空间发展的流动现象广泛存在于自然环境和工程应用中。然而，对这些流动进行完全解析的直接数值模拟（DNS）计算成本极其高昂，使得发展能够捕捉未解析尺度动力学影响的模型成为迫切需求。其中，如何精确量化亚网格尺度过程对大尺度流动的影响，是流体力学面临的一个根本性挑战，这主要源于人们对相干结构的认识尚不充分。

在过去三十年中，通过计算简单平行剪切流（如平面泊肃叶流）中的最小流动单元，人们对近壁湍流中的相干结构有了深入理解。目前，对这些结构最理性的理论描述基于精确相干结构（Exact Coherent Structures, ECS）及其在高雷诺数（Reynolds number, R）极限下的渐近分析。ECS是剪切流中普遍存在的非混沌统计稳态，如行波或周期轨道，它们通过涡旋（rolls）、条纹（streaks）和波（waves）之间的相互作用，物理上代表了捕捉相干结构自持过程（Self-Sustaining Process, SSP）的最简单状态。该过程后来被证明与Hall和Smith提出的涡-波相互作用（Vortex-Wave Interaction, VWI）理论一致，因此本文中称之为SSP-VWI。

尽管ECS通常不稳定且难以在剪切流中直接观测，但它们在从动力系统理论角度理解流体运动方面扮演着关键角色。ECS的一个重要意义在于为研究亚临界转捩提供了系统框架。当流动被控制以阻止其向湍流或层流转变时，某些ECS可以在模拟或实验中被观测到。此外，在低雷诺数下，ECS经常出现在混沌动力学中。当收集到足够数量的周期解时，它们可用于重构混沌吸引子的概率密度函数。因此，ECS常被称为湍流的骨架。

然而，将ECS框架扩展到上述空间发展流动中仍然是一个重大挑战。在这项发表于《Journal of Fluid Mechanics》的研究中，Runjie Song和Kengo Deguchi1研究了一个具有非均匀壁面曲率的弯曲通道流，作为解决这一难题的一个原型。该构型对应于弯曲管道问题的无限纵横比极限。

以往的研究大多集中于曲率为常数的情况。当曲率为零时，问题简化为平面泊肃叶流，其亚临界转捩可以用ECS来解释。相反，足够强的曲率会导致由离心不稳定性驱动的超临界转捩。当曲率沿流向变化时，在同一流动构型内，局部不同的转捩路径之间可能发生相互作用。这种情况在实际应用中经常遇到，但相关的理论研究非常有限。动力系统理论也为分析这种复杂流动构型提供了一个有前景的框架；然而，主要挑战在于在大计算域中计算ECS的困难。

为了捕捉大计算域中相干结构的空间演化，并降低计算成本，研究人员发展了多种策略。自20世纪80年代以来，人们认识到在缓慢空间发展的流动中，通过对方程进行抛物化，在流向进行数值积分是可行的。在各种已提出的方法中，边界区域方程（Boundary Region Equations, BRE）已成为学术研究的主流方法之一。然而，BRE方法存在局限性。例如，入口条件通常被限制为层流基流加上小的、缓慢随时间变化的扰动。此外，BRE公式本身无法捕捉SSP-VWI，因为维持湍流的波分量与所丢弃的快尺度（或称“亚网格尺度”）动力学相关。

本研究创新性地将BRE和ECS方法结合起来，将亚网格尺度的SSP-VWI效应纳入空间推进过程。研究人员主要考虑了通道曲率从零逐渐增大的情况。在上游端，他们假设平面泊肃叶流的边缘态（即空间局部ECS）得以维持。因此，入口条件涉及具有快尺度振荡的大振幅扰动，这在之前的空间推进计算中尚未被引入。

该研究提出的新计算方法，即抛物化相干结构（Parabolised Coherent Structures, PCS）方法，其数值实现自然地将BRE公式与基于ECS的方法相结合。它基于包含非平行效应的多尺度分析。流场被假设在快尺度变量上具有周期性，这使得原本为计算平行流中ECS而开发的牛顿-拉弗森代码可以被修改利用，以包含由慢尺度上的隐式有限差分空间推进格式产生的附加项。

为了开展研究，作者主要运用了以下几个关键技术方法：1. 多尺度渐近分析与抛物化相干结构（PCS）方程推导：将控制大尺度演化的边界区域方程（BRE）与描述小尺度精确相干结构（ECS）的方程耦合，构建PCS系统。2. 空间推进数值算法：结合傅里叶谱方法（用于快尺度方向和展向）和切比雪夫配置法（用于壁面法向），采用牛顿-拉弗森方法求解非线性PCS系统，实现沿流向的隐式积分。3. 精确相干结构（ECS）计算与稳定性分析：使用周期性边界条件下的纳维-斯托克斯方程求解器获取平面泊肃叶流的行波解（如MS-A, MS-A2）作为入口条件，并对Dean涡进行二次稳定性分析。4. 几何建模与参数化：定义了具有非均匀曲率（Dean数De(X)变化）的弯曲通道几何，将问题设置与高雷诺数渐近理论（Dean弱曲率理论）保持一致。

2.1. 曲率渐增通道中的空间推进结果

本研究首先使用平面泊肃叶流的MS-A型ECS作为入口条件进行空间推进计算。当通道曲率从零逐渐增加时，局部流向波数α和压力梯度Π′均发生非平凡变化。在曲率变为常数后，这些量迅速收敛到稳定值。

计算得到的流场显示，由离心力引起的通道曲率增强了通道下半部分的平均场（即涡-滚结构），这与Dean等人的发现一致。然而，自持相干结构和Dean涡之间没有明显的边界，因为波状的脉动场在整个空间推进过程中持续存在。在入口处，与脉动场相关的波状结构出现在两个壁面附近，但在通道上半部分的结构被逐渐抑制。这是因为离心力削弱了涡滚-条纹结构，从而破坏了SSP-VWI循环。

在出口处，慢尺度效应基本消失，解趋近于恒定曲率通道中的行波。通过与完整纳维-斯托克斯方程在环形几何中的ECS解进行比较，验证了PCS方法在曲率不太大时能较好地近似完整系统。

2.2. 不同入口ECS导致的不同下游演化

当使用具有相同对称性但参数不同的另一种平面泊肃叶流ECS（MS-A2）作为入口条件时，空间推进产生了质的不同结果。虽然平均场（涡滚-条纹结构）因离心不稳定性而增强，与MS-A情况定性相似，但脉动场在到达X=100之前就消失了。这一转变发生在大约X=88.35处。超过这个临界点后，计算简化为BRE公式，流场不再依赖于快尺度。

X > 88.35的解可解释为Dean涡解，其出口处的压力梯度|Π′|虽然因Dean涡的出现而增大，但始终小于使用MS-A入口得到的值。这表明不同的有限振幅入口条件需要显著不同的驱动压力梯度（即动量输运）来维持相应的全局流动状态。

2.3. 从Dean涡到自持态的转捩

一个自然的问题是，当通道曲率逐渐减小时，Dean涡解能否逆转为自持的ECS？研究表明，如果直接从Dean涡解开始进行空间推进（入口和出口反向），随着曲率减小，Dean涡会逐渐减弱并最终消失，下游回归到单向层流，而无法自动恢复MS-A2状态。

然而，通过在Dean涡接近中性稳定（增长率为零）的位置附近施加一个小的、具有特定频率的快尺度外部强迫，可以触发自持过程，使得非平凡解能够在曲率降为零后依然持续存在。这种效应在Dean涡对二次不稳定性接近中性时最为有效。这种现象类似于边界层理论中的感受性（receptivity）问题。值得注意的是，这里出现的自持态是亚临界的，因为即使二次不稳定性被稳定后，它仍然存在。

通过改变强迫频率，研究发现还可以在出口处得到一种新的平面泊肃叶流ECS（称为MS-A3），这表明该推进方法可以作为在平行流中发现新ECS的有效工具。

本研究发展的抛物化相干结构（PCS）方法，首次实现了在超大计算域中高效近似计算时间周期解（全局ECS），将基于ECS的相干结构分析从简单平行流成功扩展到具有缓慢空间发展的流动构型。该方法的核心在于通过快尺度平均得到的方程具有被雷诺应力项修正的边界区域方程（BRE）形式，该应力源于局部ECS的快尺度SSP-VWI，因此需要同时求解脉动部分方程。

研究通过对非均匀弯曲通道流的应用，揭示了有限振幅入口条件对下游流动结构和动量输运的决定性影响。使用不同的平面泊肃叶流ECS（MS-A与MS-A2）作为入口，即使它们对称性相同，也会导致下游出现定性（是否维持波动相干结构）和定量（驱动压力梯度）不同的全局流态。这凸显了在实际应用中控制入口有限振幅扰动以实现节能（降低动量输运）的重要性。

尤为重要的是，研究揭示了在曲率逐渐减小的通道中，通过在其特定位置施加微弱的外部快尺度扰动，可以亚临界地触发并维持自持的相干结构，即使在下游通道变直（曲率为零）后该结构依然存在。这一现象类似于边界层转捩中的感受性，但发生在亚临界条件下，为理解诸如旁路转捩等复杂现象提供了新视角。

该方法的意义在于，它为在因计算成本限制而无法进行全Navier-Stokes模拟的大尺度域中，系统研究相干结构的空间演化提供了可行途径。尽管实际应用的入口条件很可能是湍流，但动力系统理论表明湍流可由ECS的集合来理解。因此，未来在计算中使用多个入口ECS，有望有效近似全局湍流场。此外，该方法还可用于研究在平行流中发现的、类似于湍流斑或湍流带的局部化ECS结构如何受下游流动条件（如曲率）的影响，这将是未来一个有趣的研究方向。