基于等几何边界元与有限元耦合方法的薄壳结构声振特性分析

《Applied Ocean Research》：Shallow-water acoustic analysis with an accelerated isogeometric boundary element approach

本文针对薄壳结构在流体中的声振耦合问题，提出了一种基于等几何分析（IGA）的边界元法（BEM）与有限元法（FEM）耦合求解策略。研究人员通过将IGA-BEM用于声场建模，IGA-FEM用于结构动力学分析，并采用Burton-Miller公式处理外声场问题，有效解决了传统方法在几何精确描述和数值精度方面的不足。该研究为复杂工程结构如船舶、航空航天器的声学性能预测与优化提供了高精度、高效率的数值模拟工具，具有重要的理论价值和工程应用前景。

　　

在船舶与海洋工程、航空航天等领域，薄壳结构因其轻质高强的特性而被广泛应用。然而，这些结构在流体环境中运行时，不可避免地会与周围流体发生相互作用，产生结构振动和辐射噪声问题。准确预测薄壳结构的声振特性，对于评估其声学性能、进行低噪声设计以及满足日益严苛的环保法规至关重要。传统的数值模拟方法，如基于拉格朗日插值的有限元法（FEM）和边界元法（BEM），在处理复杂曲面几何时，往往存在几何描述误差，且需要密集的网格划分才能达到足够的精度，计算效率较低。此外，对于外声场问题，传统的边界积分方程在特征频率处会出现非唯一解问题，即虚频率问题，这给数值求解带来了稳定性挑战。为了克服这些难题，研究人员开展了一项结合等几何分析（IGA）、边界元法和有限元法的耦合数值研究，旨在发展一种能够精确、高效求解薄壳结构声振耦合问题的新方法。

本研究主要采用了等几何边界元法（IGA-BEM）和等几何有限元法（IGA-FEM）这两种关键技术。IGA-BEM利用非均匀有理B样条（NURBS）同时精确描述计算域几何和物理场变量，避免了传统BEM中几何模型与分析模型不一致的问题。针对外声场问题，采用了Burton-Miller公式来消除虚频率。IGA-FEM则用于求解薄壳结构的动力学方程，基于Kirchhoff-Love壳理论，同样采用NURBS基函数进行离散。两种方法在流体-结构耦合界面上通过速度和力的平衡条件进行耦合。对于边界积分中出现的强奇异和超奇异积分，研究采用了极坐标变换和奇异性相消技术进行正则化处理。

2.1. 结构动力学与IGA-FEM

研究人员基于Kirchhoff-Love薄壳理论，建立了结构的控制方程。通过等几何分析的概念，使用NURBS基函数对壳体的几何和位移场进行离散，将控制方程转化为代数方程组。为了考虑阻尼效应，在系统中引入了瑞利粘性阻尼项。该方法实现了几何的精确表示和高阶连续性，为结构动力学分析提供了高精度的离散格式。

2.2. 声学分析与IGABEM

对于声学问题，控制方程为Helmholtz方程。在流体-结构耦合界面（如海面）上，采用了Robin边界条件来描述声波与结构振动的相互作用。为了有效处理外声场问题并消除虚频率，本研究采用了Burton-Miller formulation，该公式通过将传统边界积分方程与其法向导数方程进行线性组合，构建了一个更稳健的边界积分表示。通过引入适用于半空间问题的修正格林函数，并利用NURBS基函数离散边界上的声压及其法向导数，最终将问题转化为线性代数方程组。

2.3. 超奇异积分的正则化

当采用Burton-Miller formulation时，与格林函数法向导数相关的核函数会变得超奇异。为了处理这种强奇异性，应用了柯西主值（Cauchy principal value）和Hadamard有限部分（Hadamard finite-part）技术。通过在参数空间中进行极坐标变换，并在奇异点附近对积分核进行局部展开，分离出奇异部分，并利用解析方法计算其贡献，最终得到了非奇异的积分表达式，从而实现了超奇异积分的精确计算。

2.4. 薄壳结构振动的IGA-FEM分析

通过离散耦合界面并采用Catmull-Clark细分曲面，将结构的位移场用NURBS基函数展开。当薄壳结构受到谐波载荷作用时，其稳态响应通过频响分析获得。耦合矩阵描述了声场压力对结构的作用力。通过求解线性系统，可以得到结构在流体载荷作用下的位移响应。

2.5. 使用IGA-FEM和IGA-BEM的耦合求解

最后，建立了结构表面法向速度与声压之间的关系。根据流固耦合界面上的连续性条件，声通量与结构位移通过界面算子直接联系起来。将这一关系代入边界积分公式，最终得到了完全耦合的IGA-FEM/BEM控制系统方程。该耦合系统方程综合考虑了结构动力学、声学传播以及流固耦合效应，为薄壳结构的声振特性分析提供了完整的数值框架。

本研究成功发展了一套基于等几何分析的边界元与有限元耦合计算方法，用于求解薄壳结构在流体中的声振耦合问题。该方法的核心优势在于利用NURBS实现了几何与分析的统一，保证了计算的几何精确性。通过采用Burton-Miller formulation有效克服了外声场计算中的虚频率问题，并利用先进的奇异性处理技术保证了边界积分计算的精度和稳定性。

研究的结论部分强调了该耦合方法的有效性和精确性。数值算例表明，与传统的FEM/BEM方法相比，IGA-FEM/IGA-BEM耦合方法在保持高阶精度的同时，显著减少了自由度数量，提高了计算效率。该方法为复杂工程结构中声振问题的精确模拟提供了强有力的工具，在船舶减振降噪、航空航天器声学设计等领域具有重要的应用价值。此外，该研究建立的数值框架为后续考虑更复杂因素（如非线性材料、湍流激励等）的声振耦合分析奠定了基础。这项工作发表在《Applied Ocean Research》期刊上，标志着在计算声学与结构动力学交叉领域取得了重要进展。