基于特征函数的空间随机性检验：一种连接Ripley K函数与Zimmerman ω2统计量的新方法

《Biometrika》：Characteristic function-based tests for spatial randomness

本文推荐了一项关于空间点模式分析的研究。为解决完全空间随机性(CSR)检验问题，研究人员开发了一种基于特征函数(CF)的加权L2距离检验方法。该研究揭示了该方法与Ripley's K函数及Zimmerman's ω2统计量的深刻联系，并针对Cauchy权重函数开发了高效的渐近零分布算法。结果表明，该方法无需边缘校正，计算速度快，且通过Bonferroni校正构建的综合性检验在异质性、聚集性和规则性等多种模拟场景下，其功效均优于L检验和Clark-Evans检验，尤其在大样本量时优势显著。

　　

在生态学、流行病学和材料科学等领域，研究人员常常需要分析空间点模式数据，以判断这些点（如树木、疾病病例或粒子）在空间中的分布是否具有某种规律。一个最基础且重要的假设是“完全空间随机性”（CSR），即这些点像随机撒豆子一样，彼此独立且均匀分布。如果拒绝了CSR，就意味着存在某种空间结构，比如点倾向于聚集在一起（聚集性），或者彼此排斥（规则性），或者整体分布不均匀（异质性）。

目前，检验CSR的方法虽然众多，但各有局限。例如，Ripley's K函数及其衍生的L检验虽然功能强大，但计算复杂，且需要处理棘手的边缘效应校正问题。Clark-Evans检验虽然简单，但对规则模式的检测功效较低。而基于经验累积分布函数（CDF）的检验（如Zimmerman's ω²统计量）虽然无需估计强度和边缘校正，但在检测短程聚集和规则性方面表现不佳。

为了解决这些问题，来自爱荷华大学的研究团队在《Biometrika》上发表了一项研究，提出了一种全新的检验方法——基于特征函数（CF）的检验。特征函数是概率分布的“指纹”，它包含了分布的所有信息。研究人员巧妙地利用经验特征函数与理论特征函数之间的加权L₂距离来构建检验统计量。这种方法不仅计算简单、无需边缘校正，而且对分布的高频特征（如短程聚集）非常敏感。

为了开展这项研究，研究人员主要采用了以下关键技术方法：首先，他们构建了一个基于加权L₂距离的通用检验统计量框架，通过选择不同的权重函数（如Bessel、Gaussian和Cauchy函数）来连接不同的现有统计量。其次，他们重点研究了Cauchy权重函数下的检验，并开发了高效的算法来计算其渐近零分布，从而避免了耗时的蒙特卡洛模拟。最后，他们通过大量的模拟研究，在二维和三维空间中评估了该检验的功效，并将其与L检验、Clark-Evans检验和ω²检验进行了比较。

2. Testing procedure

研究人员首先构建了检验统计量的一般形式。在给定样本点集后，他们计算了经验特征函数与理论特征函数（即均匀分布的特征函数）之间的加权L₂距离，并乘以样本量n进行缩放。通过巧妙地选择权重函数，他们发现该方法具有极大的灵活性。例如，当选择Bessel类权重函数时，检验统计量与Ripley's K函数惊人地相似；而当选择特定权重函数时，该统计量恰好是Zimmerman's ω²统计量的4倍。这表明，基于特征函数的检验是一个更一般的框架，能够统一多种现有的检验方法。

2.2. Choice of the weight function

为了研究不同权重函数的影响，研究人员引入了尺度参数r，它大致代表了空间相互作用的距离。他们重点研究了Cauchy权重函数，因为它具有一个关键优势：其对应的检验统计量计算简单，并且可以推导出渐近零分布的解析解。这使得检验的计算速度非常快，尤其适合大样本量分析。

2.3. Details of the Cauchy-weighted characteristic-function test

研究人员详细阐述了Cauchy加权特征函数检验的具体细节。他们指出，参数r的大小决定了检验的灵敏度范围：较小的r使检验对短程相互作用（如聚集和规则性）更敏感，而较大的r则对长程相互作用（如异质性）更敏感。为了解决单一r值检验的局限性，他们提出了一种Bonferroni校正的综合性检验，即同时使用多个r值进行检验，然后取最小的p值进行校正。这种综合性检验被证明在各种备择假设下都具有稳健且强大的功效。

3. The characteristic-FUNCTION TEST UNDER ALTERNATIVE HYPOTHESES

为了从理论上理解该检验的功效，研究人员分析了检验统计量在备择假设下的期望。他们利用随机序的概念，严格证明了在聚集模式下，检验统计量的期望会增加；而在规则模式下，其期望会减小。这从理论上解释了为什么该检验能够有效地区分这两种截然不同的空间结构。

4. Distribution of the CHARACTERISTIC-FUNCTION TEST STATISTIC

4.1. Mean and variance

在零假设（CSR）下，研究人员推导了Cauchy加权检验统计量的均值和方差的精确表达式。这些表达式是封闭形式的，可以直接计算，为后续的分布推导奠定了基础。

4.2. Asymptotic distribution under Cauchy weights in a square study region

这是本研究的一个核心贡献。研究人员利用线性算子理论，成功推导了Cauchy加权检验统计量在单位正方形研究区域下的渐近分布。他们发现，该统计量收敛于一系列独立标准正态随机变量的加权平方和，并开发了一种高效的算法来计算这些权重（特征值）。这使得检验的p值可以通过数值积分快速获得，而无需进行蒙特卡洛模拟。

4.3. Small-sample distribution at small r

当参数r非常小时，渐近分布的收敛速度较慢。为了解决这个问题，研究人员提出了另一种方法，即利用矩母函数和累积量生成函数，推导了当r趋近于0时检验统计量的精确分布。他们给出了累积量的渐近展开式，并利用Gil-Pelaez反演公式计算了分布函数。这种方法为小样本或小r值的情况提供了更准确的p值。

5. Simulation

5.1. Accuracy of the proposed null distribution

通过模拟研究，研究人员验证了两种零分布（渐近分布和小r分布）的准确性。结果表明，当r较小时，小r分布更准确；当r较大时，渐近分布更准确；当r与n^-1/D成比例时，两种方法表现相似。这为实际应用中如何选择分布提供了指导。

5.2. Power of the characteristic-function test

功效模拟是检验性能的关键评估。研究人员在多种备择假设下（如Matérn聚类过程、Diggle-Gates-Stibbard规则过程和异质性泊松过程）进行了模拟。结果显示，单一r值的特征函数检验对特定尺度的空间结构敏感，而Bonferroni校正的综合性检验则表现出了全面的优势。在大多数模拟场景中，尤其是在大样本量下，该综合性检验的功效均显著高于L检验和Clark-Evans检验。

6. Application

研究人员将他们的方法应用于五个经典的空间点模式数据集。通过绘制检验统计量随r变化的图形，他们可以直观地展示数据在哪些空间尺度上偏离了CSR。例如，在红树林幼苗数据中，检验在较小的r值处显示出显著的聚集性；而在冲刷草数据中，检验在较大的r值处显示出显著的异质性。这证明了该方法不仅是一个强大的检验工具，也是一个有效的探索性数据分析工具。

7. Discussion

研究人员讨论了该方法的未来研究方向。他们推测，检验的功效可能与权重函数和备择假设的成对相互作用函数之间的相似性有关。此外，由于特征函数的计算不依赖于研究区域的形状，该方法可以轻松扩展到非矩形或稀疏采样的区域。最后，该方法还可以推广到检验其他类型的空间点过程模型，如非齐次泊松过程，或用于检验时空独立性。

这项研究的意义在于，它提出了一种全新的、基于特征函数的空间随机性检验框架。该框架不仅统一了多种现有方法，而且通过选择Cauchy权重函数，实现了计算效率与理论深度的完美结合。其开发的渐近零分布算法使得大样本检验变得快速可行，而Bonferroni校正的综合性检验则在各种空间结构下都表现出了卓越的功效。这项研究为空间点模式分析提供了一个强大、通用且高效的新工具，有望在生态学、流行病学和材料科学等领域得到广泛应用。