基于最优传输理论的渐近相位综合方法研究——第二部分：最优传输问题求解

《IEEE Open Journal of Antennas and Propagation》：Asymptotic Phase Synthesis by Transport Maps -Part II Optimal Transport Problem

本文针对天线孔径相位综合问题，提出了一种基于最优传输理论的新方法。研究人员通过建立Monge-Ampère偏微分方程与最优传输问题的等价关系，采用Von Neumann交替投影算法实现了复杂波束形状的精确合成。该方法突破了传统迭代算法的局限性，为星载天线和阵列天线设计提供了理论依据和技术支撑。

　　

在无线通信和雷达系统中，高性能天线是实现信号定向传输和接收的关键部件。特别是星载天线和阵列天线系统，往往需要在远场形成特定形状的波束（如三角形、方形或多边形），以满足覆盖区域形状化的需求。传统相位综合方法主要基于迭代投影算法，通过交替满足孔径域和波束域的幅度约束来求解相位分布。这类方法存在收敛速度慢、对初始值敏感、易陷入局部最优等固有局限性。

针对上述问题，Piero Angeletti等研究人员在《IEEE Open Journal of Antennas and Propagation》上发表了一系列研究成果。本文作为该系列的第二部分，重点解决了非仿射变换情况下的波束形状合成难题。研究团队创新性地将相位综合问题转化为最优传输问题，建立了严格的数学理论基础，并开发了高效的数值求解方法。

关键技术方法包括：1）基于静止相位法将相位综合问题转化为Monge-Ampère偏微分方程；2）利用Brenier定理建立与最优传输问题的等价关系；3）采用Von Neumann交替投影算法进行数值求解；4）设计非均匀网格离散化方法处理复杂边界形状。这些方法的结合使得该研究能够处理圆形、六边形等多种孔径形状向三角形、方形、五边形等复杂波束形状的映射问题。

研究结果表明，该方法在多个典型场景下均表现出优异的性能。对于直径为50λ的圆形孔径，研究团队成功合成了三角形、方形、五边形、六边形、七边形、八边形乃至非凸的"吃豆人"形状波束。同样，对于六边形孔径，也实现了向三角形、方形和圆形波束的高质量转换。所有合成波束的环绕半径均设置为u₀=0.5，在可见度轮廓（√(u²+v²)=1）内形成了精确的目标形状。

相位分布特性分析显示，通过最优传输理论得到的相位函数具有很好的平滑性，这在实际工程应用中具有重要意义。平滑的相位分布有利于降低制造公差敏感性，提高天线系统的可靠性。特别是在有源阵列天线中，平滑的相位分布可以简化馈电网络设计，降低系统复杂度。

在数值方法方面，研究团队提出了创新的非均匀网格离散策略。针对偶数边和奇数边多边形孔径，分别设计了不同的网格生成方法，有效避免了边界顶点处的数值奇异性问题。同时，推导了非均匀网格下的二阶精度差分公式，保证了数值求解的精度和稳定性。

边界条件处理是该方法的一个关键创新点。研究团队用边界映射条件?φ(?Γ)=?(Ω)替代了传统的第二类边界条件，这一改进显著简化了数值求解的复杂度。通过将边界映射问题转化为变分问题，并引入权重参数α∈]0,1[，实现了边界条件与内部方程的自然耦合。

该研究的理论贡献主要体现在三个方面：首先，建立了相位综合问题与Monge-Ampère偏微分方程的严格数学联系；其次，通过Brenier定理揭示了最优传输理论在该问题中的适用性；最后，发展了完整的数值求解框架。这些理论成果不仅解决了具体的工程问题，也为相关领域的数学物理方程研究提供了新的思路。

在实际应用方面，该方法为星载天线和阵列天线的设计提供了强有力的工具。特别是在需要复杂波束形状的场合，如区域覆盖卫星通信、多目标跟踪雷达等系统中，该方法能够实现传统技术难以达到的性能指标。此外，该方法还可应用于反射面天线的形状设计，通过相位分布反推反射面的几何形状。

值得注意的是，该方法处理非凸目标波束形状的能力尤为突出。"吃豆人"形状波束的成功合成表明，该方法不受目标形状凸性的限制，具有较强的通用性和鲁棒性。这一特性使其在特殊应用场景中具有重要价值。

研究团队在文中还讨论了该方法与经典交替投影算法的关系。指出传统算法可以看作是本文提出的传输基于 formulation 的数值近似。这一认识不仅统一了不同方法之间的理论联系，也为改进现有算法提供了方向。

尽管该方法取得了显著成果，研究团队也指出了进一步的研究方向。例如，考虑更复杂的成本函数、扩展到时变情况下的波束合成、以及处理三维空间中的波束形成问题等。这些方向的研究将进一步完善该理论体系，拓展其应用范围。

综上所述，这项研究通过将最优传输理论引入天线相位综合领域，建立了一套完整的理论框架和数值方法。该方法不仅解决了传统技术面临的难题，也为相关领域的研究开辟了新的途径。其理论深度和实用价值使得该研究在天线设计领域具有重要意义，为未来高性能天线系统的发展奠定了坚实基础。