基于虚拟收缩理论的非线性时滞网络分散自适应镇定方法

《IEEE Transactions on Automatic Control》：Virtual Contraction Approach to Decentralized Adaptive Stabilization of Nonlinear Time-Delayed Networks

本文针对未知非线性时滞网络，提出了一种基于对角占优结构的分散自适应镇定方法。研究通过将虚拟收缩分析推广至时滞系统，建立了保证全局一致渐近稳定性的对角占优型条件。在此基础上，证明了当输入矩阵满足广义对角占优条件时，系统可通过足够大的对角高增益实现镇定。为解决系统参数未知的问题，研究进一步设计了分布式自适应增益调节律，确保所有闭环轨迹收敛至原点，且所有分散自适应增益收敛至有限值。该成果为时滞不确定网络的控制提供了理论支撑，并在SIS流行病传播控制案例中验证了其有效性。

　　

在当今万物互联的时代，从智能电网到生物调控网络，从多智能体系统到流行病传播模型，许多复杂系统都可以被抽象为网络。然而，这些网络往往存在两个令人头疼的“硬骨头”：一是系统内部复杂的非线性动力学特性，二是信号传输或处理过程中不可避免的时滞。时滞的存在不仅会降低系统性能，甚至可能导致系统失稳，给控制设计带来了巨大挑战。

更棘手的是，在大型网络中，我们通常无法获得所有节点的全局信息，也无法精确知晓系统的动力学模型。这就催生了对“分散自适应控制”的迫切需求：每个节点仅利用自身的局部信息，自动调节其控制增益，最终实现整个网络的稳定。对于线性无时滞网络，已有研究证明，如果系统的输入矩阵具有“对角占优”的结构，那么分散自适应控制是可行的。然而，对于更普遍、更复杂的非线性时滞网络，这一关键问题长期以来悬而未决。

为了攻克这一难题，来自广岛大学和北京大学的Yu Kawano与Zhiyong Sun团队在《IEEE Transactions on Automatic Control》上发表了最新研究成果。他们成功地将虚拟收缩分析这一强大工具推广至时滞系统，为非线性时滞网络提供了一套全新的分散自适应镇定理论框架。

关键技术方法

本研究主要采用了以下关键技术方法：

1. 1.
   虚拟收缩分析：将非线性时滞系统通过积分变换表示为虚拟系统的形式，从而将原系统的稳定性分析转化为对虚拟系统收缩性质的分析。
2. 2.
   对角占优条件：利用Lyapunov-Krasovskii泛函和Razumikhin型定理，建立了保证非线性时滞系统全局一致渐近稳定性的广义对角占优条件，该条件涵盖了列对角占优和行对角占优两种形式。
3. 3.
   分散自适应增益调节律：设计了一种仅依赖于局部状态信息的自适应律，用于在线调节每个节点的控制增益，其形式为 ^.k_i(t) = min{a_i, b_i|x_i(t - T_i^k)|}，其中T_i^k为可能存在的控制时滞。
4. 4.
   数值仿真验证：通过一个包含200个节点的SIS（易感-感染-易感）流行病传播网络模型，验证了所提方法在消除具有传播时滞的流行病方面的有效性。

研究结果

虚拟收缩理论推广至时滞系统

研究首先将虚拟收缩分析推广至非线性时滞系统。通过引入一个满足特定条件的辅助函数g，将原系统的向量场f表示为g沿一条路径的积分。基于此，研究建立了两个保证非线性时滞系统全局一致渐近稳定性的充分条件。这两个条件本质上是关于g的Jacobian矩阵的广义对角占优条件，分别对应于列和行的加权和。这一理论成果不仅为后续的镇定分析奠定了基础，其本身也为时滞系统的收缩分析开辟了新的途径。

对角占优输入矩阵下的镇定

利用上述理论，研究证明了，如果一个非线性时滞网络的输入矩阵B(t, x, y₁, ..., y_r)满足广义的列对角占优条件，即存在一个正向量v和常数c>0，使得对于所有j，都有v_jB_j,j+ Σ_i≠jv_i|B_i,j| ≤ -c v_j，那么通过选择足够大的对角增益矩阵K，就可以使闭环系统全局一致渐近稳定。这一结果将线性无时滞情形的结论成功推广到了非线性时滞网络。

分散自适应增益调节律

在系统参数未知的情况下，确定一个足够大的镇定增益是极其困难的。为此，研究提出了一种分散自适应增益调节律。该调节律仅依赖于每个节点的局部状态信息（可能带有延迟），其形式为 ^.k_i(t) = min{a_i, b_i|x_i(t - T_i^k)|}。研究严格证明了，在该调节律的作用下，所有闭环系统的状态轨迹都收敛到原点，并且每个节点的自适应增益k_i(t)都收敛到一个有限值。这一结果解决了在系统参数未知时，如何自动、分散地调节增益以实现镇定的核心问题。

对偶问题：输出反馈情形

研究还探讨了分散自适应控制的对偶问题，即输出反馈情形。通过利用行对角占优条件，研究证明了当输出函数H(t, x, y₁, ..., y_r)满足广义的行对角占优条件时，系统同样可以通过高增益输出反馈实现镇定，并且可以设计相应的自适应律。

案例研究：SIS流行病传播控制

为了展示所提方法的有效性，研究将其应用于一个具有传播时滞的SIS（易感-感染-易感）网络模型。在该模型中，每个节点的状态x_i(t)表示感染者的比例，控制输入k_i(t)可以理解为恢复率或疫苗接种率。数值仿真结果表明，所提出的分散自适应控制方法能够有效消除网络中的流行病，并且所有自适应增益都收敛到了有限值。作为对比，研究还展示了当使用固定的高增益控制时，某些轨迹无法收敛到零，从而凸显了自适应调节的必要性。

结论与讨论

本研究成功解决了非线性时滞网络分散自适应镇定的关键难题。其主要贡献在于，通过将虚拟收缩分析推广至时滞系统，建立了一套基于对角占优结构的稳定性分析框架。基于此框架，研究不仅证明了在输入矩阵满足对角占优条件时，系统可通过高增益实现镇定，更重要的是，设计了一种仅依赖于局部信息的分散自适应调节律，该调节律能够保证状态收敛和增益有界。

该研究成果具有重要的理论意义和广泛的应用前景。在理论上，它极大地扩展了分散自适应控制理论的应用范围，从线性无时滞系统推广到了非线性时滞系统。在应用上，该方法为大型复杂网络（如多智能体系统、智能电网、生物调控网络等）的控制提供了一种不依赖于精确模型、仅需局部信息的鲁棒控制策略。特别是，研究通过SIS流行病传播控制的案例，生动地展示了该方法在消除具有传播时滞的流行病方面的巨大潜力，为解决公共卫生领域的实际问题提供了新的理论工具。