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为解决非线性单调方程求解及信号恢复问题，研究人员开展了改良 Dai–Yuan 型（TTDY）无导数算法的研究。结果表明该算法能有效求解大规模方程且全局收敛，在信号恢复实验中表现优异。这为相关领域提供了新的有效方法。
在科学研究和实际应用的诸多领域，如经济均衡、金融预测、电力系统等，非线性单调方程（形如
P(x)=0，
x∈G，其中
G?Rn 为非空、凸且闭集，
P:Rn→Rn 是单调函数）都扮演着重要角色。然而，传统的求解方法，像 Levenberg–Marquardt 法、牛顿法等，虽然收敛速度较快，但它们存在一个棘手的问题，那就是需要计算和存储逆雅可比矩阵或其近似值，这在实际操作中往往困难重重，甚至由于矩阵的奇异性而无法实现。因此，寻找一种高效、简便且适用于大规模问题的求解算法成为了研究的迫切需求。
在这样的背景下，研究人员致力于探索新的解决方案。他们提出了一种改良的三项 Dai–Yuan 型（TTDY）无导数算法来求解非线性单调方程。这一研究意义重大，若成功，将为众多依赖非线性单调方程求解的领域提供更可靠、更高效的工具，推动相关领域的发展。
研究人员在研究过程中运用了多种技术方法。首先，他们基于投影法，巧妙地设计了 TTDY 算法的搜索方向，使得算法在每一次迭代时都能生成一个下降搜索方向，且这个方向与线搜索无关。其次，通过一系列理论推导和证明，在标准条件下建立了该算法的全局收敛性。此外，在数值实验环节，研究人员选取了多个不同类型的测试问题，与多种现有算法进行对比，通过精确记录迭代次数（NOI）、函数评估次数（FEV）和 CPU 时间（TIME）等指标，来全面评估 TTDY 算法的性能。
在算法设计方面，研究人员给出了 TTDY 算法的具体框架。其搜索方向dk的计算公式为：当k=0时，dk=?Pk；当k≥1时，dk=?Pk+ηkPkT(Pk?dk?1)dk?1?ηk∥Pk∥2dk?1 ，其中ηk=dk?1Tyˉk?1 ，yˉk?1=yk?1+tkdk?1 ，yk?1=Pk?Pk?1 ，tk=1+max{0,∥dk?1∥2?dk?1Tyk?1} 。这样设计的搜索方向具有足够的下降性，即PkTdk≤?∥Pk∥2 ，为算法的有效收敛提供了保障。
理论分析部分，研究人员在满足G是闭、非空且凸集，函数P单调且 L - Lipschitz 连续等条件下，证明了相关引理和定理。例如，证明了{xk}和{Γk}是有界的，且limk→∞∥xk?Γk∥=limk→∞vk∥dk∥=0 ；还证明了搜索方向是充分下降的，以及在这些条件下算法的全局收敛性，即liminfk→∞∥Pk∥=0 ，且序列{xk}收敛到方程的解。
数值实验环节，研究人员进行了大量对比实验。他们选取了五个不同的初始点、五个不同的维度和八个测试问题，控制参数q=0.0001，ρ=0.8 ，μ=1 ，θ=1.2 ，将 TTDY 算法与 MHS、MCD 和 PRPFR 等算法进行对比。结果显示，TTDY 算法在几乎 77% 的问题中具有最少的迭代次数，在约 64% 的问题中函数评估次数最少，并且在 45% 的问题中收敛到解的时间最短。这充分表明 TTDY 算法在求解非线性单调方程方面比其他对比算法更有效、更稳健。
在信号重建的应用研究中，研究人员将 TTDY 算法应用于噪声信号恢复问题。他们把噪声信号恢复问题转化为非线性单调方程的求解问题，具体通过将含噪声信号的线性系统方程转化为带?1 - 正则化项的优化问题（minx21∥y?Vx∥22+ω∥x∥1 ），再进一步转化为等价的非线性单调方程问题。在实验中，TTDY 算法与 PCG 方法以及 Algorithms 2.1a 和 2.1b 进行对比，以均方误差（MSE）来衡量信号恢复的效果。实验结果表明，TTDY 算法在恢复稀疏 / 噪声信号时，平均迭代次数和 CPU 时间最少，平均 MSE 也最小。
综上所述，研究人员提出的 TTDY 算法在求解非线性单调方程方面展现出了显著的优势。它不仅避免了计算雅可比矩阵的难题，适用于大规模问题，而且在理论上具有全局收敛性，在数值实验和信号恢复应用中也表现出色。这一研究成果为相关领域的问题求解提供了新的有力工具，为解决实际问题提供了更有效的途径，有望在经济、金融、电力等众多领域得到广泛应用，推动这些领域的进一步发展。
