基于BDF2-FEM的全解耦能量稳定电液动力学方程数值方法研究及其应用

本研究针对电液动力学(EHD)系统中电荷输运与流体运动的强耦合非线性难题，创新性地提出基于BDF2时间离散和有限元(FEM)空间离散的全解耦二阶线性格式。通过引入人工稳定项和旋转压力投影法，实现了速度场-电场-压力的完全解耦计算，严格证明了格式的无条件能量稳定性和收敛性。该工作为复杂EHD系统的高效模拟提供了新思路，在静电除尘器、生物分子分析等领域具有重要应用价值。

　　

电液动力学(Electro-hydrodynamics, EHD)系统作为描述电场作用下介电流体运动的重要数学模型，在静电除尘、生物芯片、航天器热管理等领域具有广泛应用。该系统耦合了描述电荷输运的泊松-能斯特-普朗克(Poisson-Nernst-Planck, PNP)方程和描述流体运动的纳维-斯托克斯(Navier-Stokes, NS)方程，形成高度非线性的多物理场耦合问题。传统数值方法面临计算效率低、耦合项处理困难、能量不守恒等挑战，亟需发展既能保持物理特性又高效的计算方法。

针对这一科学难题，河南师范大学的研究团队在《Mathematics and Computers in Simulation》发表创新性研究，提出了一种基于二阶向后微分公式(BDF2)和有限元方法(FEM)的全解耦能量稳定格式。该工作通过三个关键技术突破：在电荷守恒方程中引入二阶人工稳定项实现非线性项显式处理；采用隐式-显式(IMEX)策略处理场间耦合；结合旋转压力投影法解耦速度-压力计算。这些创新使新算法兼具计算高效性、无条件能量稳定性和二阶精度，且无需求解额外常微分方程。

主要技术方法包括：(1)采用BDF2时间离散保证二阶精度；(2)有限元空间离散处理复杂几何；(3)稳定化技术平衡显式处理带来的误差；(4)压力修正法实现速度-压力解耦；(5)严格的理论分析框架。

研究结果部分：

1. 模型系统：建立了包含PNP-NS耦合的EHD控制方程，推导了系统的能量耗散律，为算法设计提供理论基准。
2. 全离散格式：构建的格式满足三个关键特性：线性性（只需求解线性系统）、全解耦性（各物理场独立求解）、无条件能量稳定性（严格保持物理规律）。
3. 误差估计：证明了格式在时间和空间上均具有最优收敛阶，L²
   误差达到O(Δt²
   +h^r+1
   )。
4. 数值实验：通过算例验证了理论结果，展示了算法在模拟电场驱动复杂流场中的有效性，如电荷密度波演化、涡旋结构形成等物理现象。

结论与讨论指出，该研究首次实现了EHD系统的全解耦二阶能量稳定求解，相比现有方法具有显著优势：计算复杂度从O(N³
)降至O(N)；无需辅助变量或特殊边界条件；严格的数学保证为实际工程应用提供可靠工具。特别值得关注的是，该方法可扩展至变密度EHD系统、磁流体动力学等更广泛的多物理场问题，为微流控芯片设计、静电雾化等前沿应用提供了新的数值模拟途径。作者Mengmeng Li、Guang-an Zou和Bo Wang强调，这种"分而治之"的数值策略为处理复杂耦合系统提供了普适性框架，其核心思想可推广至其他多物理场建模领域。