探秘 4 度折纸条的运动折叠传播：解锁可编程折纸的关键密码

在工程设计中，1 自由度（DOF）折纸机构潜力巨大，但传统均匀变形的设计空间受限。为此，研究人员聚焦 4 度折纸条的运动折叠传播。他们发现其传播行为多样，受设计参数影响，还展示了多种折叠运动。该研究为可编程折纸奠定了基础。

　　在神奇的折纸世界里，折纸可不仅仅是孩子们的趣味手工，它在科学与工程领域正展现出巨大的潜力。几何和运动学原理赋予了折纸结构独特的机械功能，1 自由度（DOF）折纸机构更是凭借通过操纵单个折痕就能实现全局变形的特性，在可部署系统、机器人、柔性电子和机械超材料等多个领域备受瞩目。然而，传统的 1DOF 折纸机构大多依赖周期性折痕图案的均匀变形，就像整齐划一的士兵方阵，虽然有序但缺乏灵活性，这种局限性极大地限制了设计空间和可编程性，就如同给创造力戴上了枷锁。

为了突破这一困境，来自多个研究机构的研究人员踏上了探索之旅。他们将目光聚焦于 4 度折纸条（由依次连接的 4 度折纸顶点构成的一维链状结构）的运动折叠传播（指边界折痕的驱动如何在整个结构中传递）这一关键主题展开研究。最终，他们的研究成果发表在了《Extreme Mechanics Letters》上，为该领域带来了新的曙光。

在研究方法上，研究人员采用了多种关键技术。首先，他们通过参数化设计和运动学分析，利用扇形角和折叠角等参数对 4 度折纸条进行精确描述。其次，运用离散动力系统模型，深入研究折叠传播行为，通过推导递归关系来揭示其规律。此外，还借助 3D 打印技术制作物理模型，直观地展示和验证理论分析结果。

在研究结果方面：

• 定义和参数化：研究人员对由相同几何顶点组成的折纸条进行设计和运动学参数化，用扇形角（${\theta }^i$，表示相邻折痕间的夹角）和折叠角（${\rho }^i$，代表折痕处的外部二面角）来描述折纸条的特征，并引入额外的度量参数用于可视化。同时，确定了连接方式，如选择特定的折痕作为输入和输出折痕。
• 递归关系：基于球面余弦定律，推导出相邻折叠角之间的递归关系$cos\backslash msubsup>\rho t+10=Acos\backslash msubsup>\rho t0+B$ ，这一关系量化了折叠传播行为，并且发现可以通过选择参数$\backslash sigma$来指定折叠模式。
• 分类：根据离散动力系统的线性稳定性分析，将设计空间分为四类（Class I - IV）。不同类别的折纸条在折叠传播时表现各异，如 Class II 中折叠角度的变化会逐渐衰减，而 Class III 中则会逐渐放大。
• 设计示例：通过可视化不同类别的折纸条折叠行为，发现 Class I 和 IV 的折叠状态具有自相似性，而 Class II 和 III 在非均匀折叠时呈现出独特的 “渐变” 特征，且固定点的稳定性影响着折叠的发展趋势。
• 演示：利用 3D 打印的有限厚度折纸条进行演示，验证了理论分析的结果，展示了折纸条从平折状态到螺旋形状的折叠过程，以及不同类别中折叠传播的特性，如 Class III 中的自阻塞现象。

在讨论部分，研究人员进一步拓展了研究内容。他们对周期性 4 度折纸条设计进行了推广，允许存在多种顶点类型和不同的连接方式，发现这种推广不仅可以避免面片的自相交，还能实现拓扑非线性传播，为编程更复杂的折叠行为提供了可能。此外，通过对离散折纸条模型取连续极限，研究人员推导了弯曲折痕折纸中的折叠传播规律，得到了描述折叠角变化的线性微分方程，揭示了连续动力系统下的折叠传播特性。

这项研究的重要意义在于，它深入揭示了 4 度折纸条的运动折叠传播机制，为可编程折纸奠定了坚实的理论基础。研究成果有助于工程师和设计师突破传统折纸机构的限制，开发出具有更多样化功能和复杂形状的折纸结构，在航空航天、医疗设备、智能材料等领域具有广阔的应用前景，有望推动相关领域的技术革新和发展。