基于分数阶谐波平均型发生率模型的弓形虫病传播动力学建模与控制研究

本研究针对弓形虫病(T. gondii)在人与猫种群中的传播机制，创新性地构建了分数阶导数(Atangana-Baleanu算子)动力学模型，采用谐波平均型发生率(2βhShIh/(Sh+Ih))描述感染过程。通过计算基本再生数R0和敏感性分析，发现治疗率γh提升可有效控制疫情，为公共卫生干预提供了量化依据。

　　

弓形虫病(Toxoplasma gondii, T. gondii)这个单细胞寄生虫堪称"隐形杀手"，它能感染几乎所有有核细胞，通过猫科动物粪便污染的水源、土壤甚至生肉传播给人类。更惊人的是，孕妇感染可能导致胎儿癫痫、失明等严重并发症。随着全球宠物猫数量激增（仅美国就达7020万只），这个潜伏在猫砂盆里的威胁正引起科学家高度警觉。

传统数学模型在描述这类复杂传播过程时存在局限，特别是无法捕捉生物系统的"记忆效应"。为此，中南大学数学与统计学院的Muhammad Asif团队联合罗马尼亚、沙特阿拉伯学者，在《Scientific Reports》发表了一项突破性研究。他们创造性地将分数阶微积分(Atangana-Baleanu导数)引入流行病学模型，采用更符合生物实际的谐波平均型发生率(2β_h(t_o)S_h(t_o)I_h(t_o)/(S_h(t_o)+I_h(t_o)))，构建了人猫双种群传播动力学系统。

研究主要运用了三种关键技术：1)建立包含S_hIR_hT_h(易感/感染/恢复/治疗)人群和S_cI_c猫群的六室模型；2)采用新一代矩阵法计算基本再生数R₀=max(2β_h/(γ_h+φ_h), 2β_c/(π_c+φ_c))；3)应用Atangana-Toufik数值方案求解分数阶微分方程，参数校准基于哥伦比亚等地的实际流行病学数据。

【模型构建】将人类种群划分为四类动态变化群体(S_h, I_h, T_h, R_h)，猫种群分为两类(S_c, I_c)，通过引入出生率ε_h/ε_c、自然死亡率φ_h/φ_c等参数，建立了具有明确流行病学意义的微分方程组。定理1严格证明了模型解的非负性，定理2则通过分析总人口变化率dN_h/dt_o=ε_h-φ_hN_h，确定了种群规模的有界性。

【平衡点分析】计算出无病平衡点D⁰=(ε_h/φ_h,0,0,0,ε_c/φ_c,0)和地方病平衡点的复杂表达式。通过Jacobian矩阵特征值分析，证明当R₀<1时D⁰渐进稳定，否则系统趋向 endemic equilibrium。

【敏感性发现】表1显示β_h和β_c的敏感指数均为+1，是疫情扩散的关键驱动因素；而治疗率γ_h的敏感指数为-0.6，猫群自愈率π_c达-0.858，成为最优干预靶点。图4模拟证实，将γ_h从0.03提升至0.05可使感染人数下降40%。

【分数阶拓展】采用AB导数构建的分数阶模型(0<ψ<1)展现出独特优势：通过调节ψ值(0.75-0.95)，能更精准拟合哥伦比亚疫情数据中观察到的"长尾效应"。定理3利用Banach不动点定理证明了分数模型解的存在唯一性，式(19)-(22)给出了具体的数值迭代格式。

这项研究在理论和实践层面均具有里程碑意义：首先，谐波平均型发生率比传统双线性发生率更能反映真实接触过程；其次，分数阶模型成功捕捉到传统整数阶模型忽略的"记忆效应"；最后，数值模拟为公共卫生决策提供了量化工具——当R₀=1.25时，需将猫群疫苗接种率提高至60%或人类治疗率提升至0.05才能有效控制疫情。研究者建议未来可结合时滞微分方程来模拟免疫延迟，或引入随机项评估环境波动的影响，这些都将为制定精准防控策略开辟新途径。