基于时间积分小波同伦法的非线性Korteweg–de Vries-Burgers方程高精度闭式Coiflet解研究

本研究针对浅水波中非线性Korteweg–de Vries-Burgers(KdVB)方程的高精度求解难题，创新性地提出时间积分小波同伦方法，结合Coiflet小波的空间展开与显式时间积分策略，成功获得六类非线性问题的闭式解。该方法在计算资源消耗显著降低的同时，实现了与精确解的高度吻合，为非线性色散-耗散波问题提供了高效可靠的数值工具。

　　

在浅水波传播、等离子体物理等领域，非线性Korteweg–de Vries-Burgers(KdVB)方程作为描述色散-耗散耦合效应的核心模型，其高精度求解始终是计算数学的难点。传统数值方法在处理强非线性项与复杂边界条件时，往往面临计算效率低、精度不足的瓶颈。上海交通大学的研究团队Qiang Yu等人创新性地将时间积分策略引入小波同伦框架，开发出兼具解析方法与数值算法优势的新型求解器。

研究采用Coiflet小波的空间离散化技术，通过最大消失矩为5的?_j,k
(x)和ψ_j,k
(x)基函数构建多分辨率分析，结合显式时间迭代格式处理非齐次Dirichlet/Neumann/Robin边界。关键技术包含：1) 时空维度的小波-Galerkin离散；2) 同伦变换将非线性PDE转化为线性变形方程序列；3) 退化矩阵微分方程的高效求解。

研究结果部分，Section 2建立了时间域小波展开理论体系，通过积分运算将边界条件嵌入基函数构造。Section 3的线性验证表明，对抛物线型PDE的L₂
误差范数可控制在10^-6
量级。Section 4提出的迭代格式将KdVB方程(?u/?t + ε/2?u²
/?x - γ?²
u/?x²

• μ?³
  u/?x³
  = 0)转化为ODE矩阵方程，Section 5的六个算例显示，当γ=0时退化为KdV方程的求解相对误差低于0.05%。

结论指出，该方法通过?_5,1
和ψ_5,1
双函数的协同作用，实现了计算效率与精度的突破：相比传统有限元法，在相同时间尺度下计算耗时减少40%，内存占用降低60%。这项发表于《Mathematics and Computers in Simulation》的工作，不仅为海洋工程中的极端波浪模拟提供了新工具，其"时空解耦-小波离散-同伦渐进"的技术路线，对处理更广泛的非线性发展方程具有范式意义。特别值得注意的是，该方法成功克服了传统HAM(同伦分析方法)仅适用于稳态问题的局限，首次实现了非齐次Cauchy边界条件下的动态响应精确捕捉。