基于分数阶Vieta-Fibonacci函数的正交基构建及其在分段常阶时滞系统最优控制中的应用

本文推荐研究人员针对分数阶时滞系统控制难题，创新性地构建了基于分数阶Vieta-Fibonacci函数（FVFFs）的正交基，通过结合块脉冲函数（BPFs）和谱配方法，成功将复杂的分数阶时滞控制问题转化为优化问题求解。该研究不仅建立了新型积分算子Pα(t) ，还通过5个测试案例验证了方法的精确性，为非线性分段常阶系统的控制提供了高效数值工具，发表于《Mathematics and Computers in Simulation》。

　　

在复杂系统控制领域，分数阶微积分（Fractional Calculus）因其能描述具有记忆和非局部特性的过程而备受关注。然而，当系统同时涉及时滞和变阶特性时，尤其是分段常阶（Piecewise Constant Order）情形，传统数值方法面临严峻挑战。这类系统广泛存在于生物力学、神经网络和工程控制中，例如蛋白质弛豫动力学中微分阶数随温度变化的现象。现有正交基如Legendre多项式或Chebyshev小波难以精确捕捉解的分段光滑特性，亟需发展新型数值框架。

为解决这一难题，Shiraz University的研究团队Hamid Reza Marzban和Mahtab Manochehri Naeini创新性地将分数阶Vieta-Fibonacci多项式（FVFFs）与块脉冲函数（BPFs）结合，构建了适用于L²
_W^α(t)

[0,1]空间的混合正交基。通过引入变量替换β=arccos(2ξ_n
^α_n

-1)，建立了高效的积分算子P_α(t)
，将原始控制问题转化为带约束的优化问题。关键技术包括：1）设计分段常阶α(t)的混合基函数H^α(t)
_n,m
(t)；2）推导收敛性定理证明系数γ_n,m
的衰减特性；3）构建Riemann-Liouville积分算子矩阵。

A complete fractional basis involving Vieta-Fibonacci polynomials
通过变量替换和分段策略，将定义域Ω分解为N个子区间Ω_n
=[(n-1)/N,n/N)，在每个子区间上采用修正的FVFFs基函数，其解析形式包含sin(mβ)和sin(β)的比值结构，确保了对解的分段光滑特性的精确描述。

Convergence analysis of the hybrid of FVFFs
理论证明当f∈C¹
时，展开系数满足|γ_n,m
|≤C/[N(m-1)α_n
]，其收敛速度同时依赖于子区间数N和多项式阶数M，为算法参数选择提供理论依据。

Derivation process of a novel integral operator
针对Caputo导数定义的状态方程，构建了高效的积分算子P_α(t)
，其矩阵元素通过Γ函数和分数阶积分性质显式表达，显著提升了计算效率。

Illustration of the methodology
将状态方程(2)和控制问题(1)-(5)转化为代数方程组，通过谱配法在配点t_k
=cos(kπ/M)处离散化，最终形成带延迟项的非线性规划问题。

Evaluation of the devised method
通过5个测试案例验证：1）线性变阶系统误差达10^-9
量级；2）非光滑解问题中N=8时即实现指数收敛；3）时滞τ_x
=0.3的非线性系统较传统BPF方法精度提升3个数量级。

该研究首次系统解决了分段常阶时滞系统的控制难题，所提框架具有三大优势：1）混合基函数能精确匹配解的分数阶特性；2）积分算子P_α(t)
为同类研究首创；3）算法在N=5,M=10时即达工程精度要求。这项工作不仅为VO-FOS（Variable-Order Fractional Order Systems）控制提供了通用工具，其基函数构造思想还可推广至Mittag-Leffler型核函数的系统分析中。未来可进一步探索该方法在蛋白质折叠动力学和智能材料控制中的应用。