消除奇点的Chebyshev配点法在非线性分数阶微分方程爆破解中的应用研究

针对非线性分数阶微分方程(FDEs)初值问题中解存在的初始奇点与终端爆破现象，研究人员提出两种消除奇点的Chebyshev配点法(CCMs)。通过将问题转化为第二类Volterra积分方程(VIE)和Hadamard有限部分积分方程(HFP)，结合分数阶级数解和Padé逼近技术，实现了高精度数值求解与爆破时间检测。该方法显著提升了奇异问题的计算效率，为生物、物理等领域的FDEs建模提供了可靠工具。

　　

分数阶微分方程(FDEs)在描述生物记忆效应、反常扩散等复杂现象中具有独特优势，但其非线性项与分数阶算子耦合常导致解的初始奇点与终端爆破行为，传统数值方法面临精度骤降的挑战。尤其当解在初始点呈现t^γ
型奇异或在有限时间趋于无穷时，常规配点法因无法捕捉奇异特征而失效。

针对这一难题，天津师范大学的研究团队在《Mathematics and Computers in Simulation》发表研究，提出两种创新的消除奇点Chebyshev配点法。通过将Caputo型分数阶微分方程(0<>_p
(t)=Σc_k
t^kα
，精确刻画初始奇点；进而设计CCM-VIE和CCM-HFP两种算法，在切除奇异区间[0,δ]后的规则区域采用Chebyshev多项式离散，并严格证明了解收敛性。对于爆破问题，通过Padé逼近将级数解转化为有理函数P₁
(t)/P₂
(t)，以P₂
(t)的最小正根预测爆破时间t_b
，并针对幂律型(f=Au^p
)、对数型等典型非线性项推导爆破速率。

关键技术包括：(1) 分数阶级数展开与逐次逼近法构建奇异解；(2) 基于Chebyshev节点的配点离散与权重HFP积分递推计算；(3) Padé逼近与爆破行为主导项分离技术；(4) 变换方程u(t)=u_p
(t)+t^γ_N

v(t)的奇异消除策略。

研究结果显示：在测试算例中，CCM-VIE和CCM-HFP均呈现指数收敛性，最大绝对误差可达10^-10
量级；相比传统L1格式，计算效率提升约20倍。针对f(t,u)=u^1+α
的爆破问题，方法成功检测到t_b
=2.003的爆破时间，误差仅0.15%。通过分离主导奇异项u(t)/(t_b
-t)^β
，变换后的TC-CCM算法进一步将爆破点附近误差降低3个数量级。

结论部分强调：该研究首次实现分数阶微分方程初始奇点与终端爆破的双重消除，为含奇异性的非线性FDEs提供了普适性求解框架。理论证明CCM-VIE在L^∞
范数下具有最优收敛阶O(N^-m
)，其中N为配点数。所提方法可扩展至多项式非线性、时变系数等更复杂情形，为分数阶模型在肿瘤生长模拟、反常输运等领域的应用奠定基础。作者指出未来可结合自适应网格优化奇异区间δ的选择，并探索该方法在高维分数阶偏微分方程中的适用性。