随机初始时间非自治非线性实阶系统中记忆混沌的多阶Mittag-Leffler渐近同步研究

本文针对随机初始时间非自治非线性实阶系统中记忆混沌同步的难题，提出了一种基于线性状态反馈控制的多阶Mittag-Leffler渐近同步新方法。研究人员通过构建常值Metzler矩阵和非负矩阵的判别条件，首次在阶数α∈(0,1]的异阶系统中实现了Mittag-Leffler型同步，并通过Wei系统和SMIB电力系统的仿真验证了方法的有效性。该研究为复杂网络、安全通信等领域的混沌控制提供了新的理论工具。

　　

在非线性动力学领域，记忆混沌（memory chaos）作为一种特殊的混沌现象，因其状态演化对历史轨迹的持续依赖性而备受关注。与传统整数阶系统的混沌不同，记忆混沌存在于分数阶（实阶）系统中，表现出更复杂的动力学行为，包括有界性、非周期性、运动不规则性和初值敏感性等独特性质。这类系统在电子电路平衡控制、加密算法设计、图像保护等工程领域具有重要应用价值。然而，现有研究多局限于零初始时间的同阶系统，对随机初始时间异阶非自治系统的同步问题尚未形成系统理论。

针对这一科学难题，研究人员在《Franklin Open》发表了创新性成果。他们重点研究了具有不同分数阶α_i∈(0,1]的非自治主从系统，通过设计线性状态反馈控制器，首次建立了多阶Mittag-Leffler渐近同步（MO-ML-ASTSZ）的判据。研究采用Caputo导数描述系统动力学，结合Lipschitz非线性条件，构建了包含常值Metzler矩阵和权重矩阵的判别体系。关键技术包括：1）基于比较原理的非线性系统稳定性分析；2）多阶Mittag-Leffler函数的收敛性证明；3）时变系统的矩阵不等式处理方法。研究团队还选取Wei系统和单机无穷大（SMIB）电力系统作为典型案例进行数值验证。

【主要结果】

1. 系统建模与问题描述
   建立主从系统模型，其中主系统（1）和受控从系统（2）均采用Caputo导数定义，状态变量分别为η?(t)和ξ?(t)。通过设计控制输入u(t)=K(ξ?(t)-η?(t))，将同步问题转化为误差系统（12）的稳定性问题。

2. 阶数相关同步判据
   提出定理4.1，证明当特征方程det(diag(s^α₁,...,s^α_n)-H⁺-N_S)=0的根均满足|arg(s)|>π/2，且存在λ>0使H⁺+N_S≤-λI时，系统可实现局部MO-ML-ASTSZ。其中H⁺为Metzler矩阵，N_S为Lipschitz权重矩阵。

3. 数值验证
   以Wei系统和SMIB系统为例，在初始时间t^??=50和-50两种情况下均观察到误差χ(t)按Mittag-Leffler函数规律收敛，验证了理论结果的普适性。

【结论与意义】
该研究突破了传统同步理论对同阶系统的限制，建立了适用于随机初始时间异阶非自治系统的同步框架。提出的Metzler矩阵判别法既包含阶数依赖条件，又给出更易验证的阶数无关条件，为工程应用提供了灵活性。理论成果可推广至神经网络、电力系统等实际场景，特别为基于混沌加密的安全通信系统设计提供了新思路。未来研究可进一步探索时滞系统和非线性控制策略的拓展应用。