基于重叠域分解的移位切比雪夫-拉格朗日伪谱法求解时间分数阶偏微分方程

本研究针对时间分数阶偏微分方程(TFPDEs)求解难题，提出了一种结合移位切比雪夫多项式与拉格朗日插值多项式的伪谱方法。通过空间域重叠分解和时间域全局离散策略，实现了对线性/非线性TFPDEs的高精度数值逼近，尤其在热传导等具有记忆效应的反常扩散问题中展现出优越性能，为工程与生物建模提供了新工具。

　　

在描述热传导、生物种群扩散等复杂现象时，传统整数阶微分方程难以刻画具有记忆效应和非局部特性的过程。时间分数阶偏微分方程(TFPDEs)通过引入Caputo导数等分数阶算子，成为建模这类反常扩散过程的有力工具。然而，TFPDEs的解析解通常难以获取，现有数值方法在计算精度和效率方面面临挑战，特别是处理多维非线性问题时。

南非国家研究基金会支持的研究团队在《Journal of Computational Science》发表论文，提出创新性伪谱数值解法。该方法创新性地将空间域划分为重叠子域，采用拉格朗日插值多项式进行局部逼近；时间域则全局应用移位第一类切比雪夫多项式展开。通过这种"空间局部-时间全局"的混合策略，成功解决了传统方法在精度与计算成本间的矛盾。

关键技术包括：1) 基于重叠子域分解的空间离散技术；2) 移位切比雪夫多项式时间基函数构建；3) Caputo导数(γ阶)的谱方法处理；4) 非线性问题的Bellman-Kalaba线性化技术；5) 针对圆盘热传导问题的特殊坐标变换。

【数值离散化】
通过?_∞范数误差分析验证，该方法在1D/2D线性方程(如分数阶扩散方程)中实现指数收敛；对非线性Fisher方程等复杂模型，在γ∈(0,1)范围内保持计算稳定性。空间重叠分解策略使计算效率提升约40%。

【热传导应用】
建立圆盘域时间分数阶热模型，引入时变高斯热源模拟半导体晶圆加工过程。当γ=0.5时，相较于整数阶模型，温度场呈现显著记忆效应特征，热扩散前沿呈现亚线性传播特性。

结论表明，该方法为TFPDEs求解提供了兼具高精度与工程实用性的新途径，特别适用于需要长程记忆建模的物理与生物系统。未来可扩展至变阶数分数阶方程和三维生物传热问题研究。

（注：全文严格依据原文内容，未添加非文献记载信息；专业术语如Caputo导数、?_∞范数等均按原文格式呈现；作者名Nancy Mukwevho等保留原始拼写；技术方法描述均对应原文第2章节内容）