基于多步Legendre伪谱伽辽金法的消失延迟Volterra积分微分方程高效求解框架及其应用

针对传统Runge-Kutta等方法在求解线性消失延迟模型时的局限性，研究人员开发了多步Legendre伪谱伽辽金法(MSLPSGM)用于求解消失延迟Volterra积分微分方程(VDVIDEs)。该方法通过子区间划分和高阶近似，实现了长计算区间、高振荡解和陡梯度问题的谱精度求解，为复杂积分微分方程提供了新的数值分析工具。

　　

在计算数学领域，求解具有消失延迟特性的Volterra积分微分方程(VDVIDEs)一直是个棘手难题。这类方程在物理、生物和工程等领域广泛存在，例如描述材料记忆效应的本构关系、神经电信号传导过程等。传统数值方法如Runge-Kutta在面对这类问题时往往捉襟见肘——当遇到线性消失延迟模型时，由于右端函数在网格点信息缺失，不得不通过局部插值生成数据，既影响精度又增加计算量。更棘手的是，当计算区间较长或解呈现高振荡特性时，单步谱方法需要大量配点，导致代数方程组病态，严重制约了实际应用。

针对这些挑战，湖南大学的研究团队创新性地提出了多步Legendre伪谱伽辽金法(MSLPSGM)。该方法巧妙结合了伪谱法的高精度特性和多步算法的稳定性优势，通过将计算区间划分为适当子区间，在每个子区间上采用Legendre多项式展开，并利用Gauss积分精确计算内积，有效解决了传统方法的三重困境：长计算区间导致的精度损失、高振荡解引发的数值不稳定、以及陡梯度问题造成的收敛困难。相关成果发表在计算数学领域权威期刊《Mathematics and Computers in Simulation》上。

研究团队主要采用三项关键技术：1) 多步离散策略，通过粗-细网格划分处理延迟项；2) Legendre伪谱伽辽金格式，在每个子区间建立弱形式方程；3) 高精度Gauss积分，避免直接计算内积带来的误差。特别值得注意的是，该方法在伪谱框架下近似内积，与经典谱伽辽金法形成鲜明对比，既保持了谱方法的指数收敛性，又增强了计算稳定性。

"多步Legendre伪谱伽辽金法"部分详细阐述了算法实现过程。研究人员首先将全局区间[0,T]划分为N_c个粗网格，再根据延迟函数σ(z)的特性生成细网格。在每个子区间I_n=[z_n-1,z_n]上，通过变量代换将方程转换到标准区间[-1,1]，然后采用M_n阶Legendre多项式展开未知函数及其导数。关键的创新点在于：利用Legendre-Gauss点建立离散方程组时，通过精确积分处理历史项和延迟项，确保整体精度。

"收敛性分析"部分建立了严格的误差估计理论。研究证明，当核函数H₁∈C^r(Ω₁)和H₂∈C^r(Ω₂)满足一定光滑性时，MSLPSGM的解误差上界由两项构成：子区间长度h和逼近次数M。特别地，当减小h或增加M时，误差呈谱精度衰减，即比任何多项式速度更快。这种超收敛特性通过引入Legendre插值算子I_M^x和Sobolev范数‖·‖_r,∞,Λ得以严格证明。

"数值实验"部分通过系列算例验证了理论预测。定义E?₁=φ-φ_M和E?₂=φ′-φ′_M分别表示解及其导数的误差。结果显示：1) 在长达10⁴的计算区间上，L²误差仍能保持在10^-10量级；2) 对于振荡频率达100Hz的解，最大模误差‖E?₁‖_∞不超过10^-8；3) 在解存在陡梯度的区域，方法自动加密网格，保持全局谱收敛性。这些结果显著优于传统单步谱方法和有限差分法。

在"结论与展望"中，Yin Yang、Pai Yao和Emran Tohidi指出，MSLPSGM为VDVIDEs的求解提供了全新范式，其价值体现在三方面：理论层面建立了完整的收敛性框架；算法层面实现了长时-高振-陡梯度问题的统一处理；应用层面可扩展至弱奇异核、分数阶导数等更复杂模型。这项工作不仅推动了计算数学的发展，也为工程实际问题中的记忆依赖系统建模提供了可靠工具。未来研究将聚焦于自适应网格优化和非线性延迟项的数值处理，进一步拓展该方法的应用边界。