基于Caputo分数阶算子的温室气体与碳排放对气候变化影响的混沌控制与敏感性分析

研究人员针对全球变暖与碳排放的复杂关系，构建了包含温室气体(G)、温度(Tt)、旅游业(Tr)和二氧化碳(C)的四维分数阶模型，采用Caputo导数分析系统稳定性。研究发现基本再生数R0=s2/s6决定气候系统稳定性，通过Lyapunov函数证明全局渐近稳定性，数值模拟验证了分数阶参数对系统动态的调控作用。该研究为气候变化的数学建模提供了新范式。

　　

随着全球气温持续攀升（过去三十年每十年上升0.2°C），温室气体与碳排放的相互作用机制成为气候研究的核心课题。传统整数阶模型难以捕捉气候系统的记忆效应和非线性特征，而旅游业等人类活动对气候的影响也缺乏定量分析。巴基斯坦Ghazi University数学系的Aqeel Ahmad团队在《Scientific Reports》发表研究，首次将Caputo分数阶算子引入气候变化建模，揭示了碳排放与全球变暖的动态关联规律。

研究采用四维微分方程组描述温室气体(G)、地表温度(T_t)、旅游业(T_r)和二氧化碳(C)的相互作用，通过分数阶微积分理论构建动力学模型。关键技术包括：1）基于Caputo导数的分数阶系统构建；2）下一代矩阵法计算基本再生数R₀；3）Lyapunov函数证明全局稳定性；4）两阶段Lagrange多项式数值模拟。研究团队还建立了包含β₁-β₄出生率和s₁-s₆传输率的参数体系。

模型构建与理论分析
通过定义Caputo分数阶导数（式2-3），将经典模型扩展为β∈(0,1)的分数阶系统。定理3.1证明解的正性与有界性，定理3.3采用Banach不动点定理确保解的唯一性。模型考虑温室气体生成（β₁+s₁GT_t）、碳吸收（-s₂C）等非线性项，形成耦合动力学系统。

平衡点与敏感性
计算得到 endemic equilibrium E₁(G*,T_t,T_r,C*)的解析表达式，通过下一代矩阵法推导关键阈值R₀=s₂/s₆。图1显示R₀对参数s₂（正相关）和s₆（负相关）的敏感性，表明控制碳吸收速率s₆比限制排放s₂更有效。

稳定性证明
定理4.1构造Volterra型Lyapunov函数（含对数项），通过P-Q不等式证明当R₀>1时 endemic equilibrium全局渐近稳定。混沌分析（图2）显示温度T_t(t)在分数阶β降低时出现非周期性波动，反映气候系统的初值敏感性。

数值模拟
图3-6展示不同β值下的动态演化：温室气体G(t)随β减小而加速衰减（图3），温度T_t(t)在β=0.8时呈现超扩散特征（图4），旅游业T_r(t)受(s₃+s₄+s₅)项抑制明显（图5），而二氧化碳C(t)在β=0.6时出现记忆效应导致的延迟响应（图6）。

该研究开创性地将分数阶算子应用于气候变化建模，证实Caputo导数能更精确描述气候系统的遗传特性。理论证明与数值模拟表明：1）基本再生数R₀是气候稳定性的关键指标；2）分数阶β可作为调控参数反映不同时间尺度的气候响应；3）旅游业对温室气体的间接影响（s₅项）需纳入政策考量。研究成果为《巴黎协定》减排目标提供了数学评估工具，后续可扩展至区域气候预测和多尺度耦合建模。