双曲梁结构中的全局极限点分析：机械与静电加载下的多稳态行为研究 中文标题

本研究针对微机电系统（MEMS）中双曲梁结构的多稳态行为，通过全局极限点分析，揭示了机械和静电加载下结构的复杂稳定性演化。研究人员采用降阶模型（RO）、有限元（FE）和有限差分（FD）方法，系统分析了不同几何参数和耦合强度对结构稳定性的影响，发现了从单稳态到五稳态的多种构型转变，并首次在静电加载下观察到动态多稳态现象。该研究为设计高性能MEMS开关、传感器和执行器提供了理论依据和设计工具，显著推动了多稳态MEMS器件的开发与应用。

　　

在微机电系统（MEMS）领域，双曲梁结构因其独特的力学行为和潜在的多稳态特性而备受关注。多稳态结构能够在多个稳定状态之间切换，这对于实现高性能开关、存储器和传感器至关重要。然而，传统的单曲梁结构通常仅表现出双稳态行为，限制了其在复杂应用中的潜力。尽管通过静电驱动可以引入第三稳定状态（如pull-in点），但结构的稳定构型仍然较为有限。此外，现有研究多集中于单梁结构或强耦合双梁系统，对弱耦合双曲梁在机械和静电加载下的全局稳定性行为尚缺乏系统深入的分析。特别是在静电加载下，结构的非线性响应和稳定性演化更为复杂，亟需全面研究以揭示其多稳态机制并指导实际应用。

为解决上述问题，研究人员在《International Journal of Engineering Science》上发表了一项研究，通过全局极限点分析系统地探讨了弱耦合双曲梁结构在机械和静电加载下的多稳态行为。研究采用降阶模型（RO model）、有限元（FE）和有限差分（FD）方法，结合弧长延续法（Riks method）和实时稳定性分析，全面刻画了结构的平衡曲线和极限点演化。关键方法包括：使用Galerkin分解构建3自由度和7自由度降阶模型；通过有限差分和有限元方法进行直接数值验证；利用能量方法进行全局稳定性分析；以及采用参数扫描技术生成极限点映射图。样本参数包括梁的初始高度（h₁、h₂）、厚度（d₁、d₂）和耦合刚度（γ）等。

研究首先通过机械加载案例揭示了结构的复杂稳定性行为。如图2所示，通过改变驱动梁（Beam #1）和从动梁（Beam #2）的初始高度，结构可呈现双稳态、三稳态甚至四稳态构型。特别地，当h₂=0.4028时，结构表现出四稳态特性，具有三个snap-through点（S₁、S₂、S₃）和三个release点（R₁、R₂、R₃）。值得注意的是，极限点（limit points）与极值点（extremum points）并不完全重合，表明结构的稳定性行为不能仅通过几何特征简单判断。图3进一步通过高阶模型（7-DoF）和直接数值方法（FD/FE）验证了3-DoF降阶模型的准确性，显示在较高刚度条件下模型一致性良好。

在静电加载分析中，研究发现了更为丰富的多稳态现象。如图8所示，当电压参数β从零逐渐增加时，结构可依次呈现单稳态、双稳态、三稳态、四稳态和五稳态构型。其中，五稳态构型（图8d）首次在静电加载双梁结构中被观察到，其特征是存在四个snap-through点（S₁-S₄）和四个release点（R₁-R₄）。值得注意的是，某些稳定分支出现在负电压区域（β<0），虽在实际中不可访问，但揭示了结构的内在复杂性。通过与5-DoF模型和FD解的对比（图9），验证了3-DoF模型在预测稳定性阈值方面的有效性，尽管在高位移区域存在轻微偏差。

全局极限点映射分析（图10-14）系统揭示了参数变化对稳定性的影响。研究发现：1）机械加载下结构最多呈现四稳态，而静电加载下可达到五稳态；2）静电加载显著增强了多稳态行为，使结构在更广泛的参数范围内保持多稳态；3）稳定性转变可通过极限点的产生、消失和类型转换（如S_i与R_i的相互转化）来实现；4）耦合刚度γ的增加会简化不稳定分支，减少所需模态数。特别地，图12所示的参数映射揭示了九个关键稳定性阈值，对应着双稳态、三稳态、四稳态和五稳态之间的转变。

研究结论表明，弱耦合双曲梁结构在静电加载下表现出远超机械加载的丰富多稳态行为。这种增强的非线性响应源于静电力的位移依赖性，使得结构能够通过电压控制实现多种稳定构型。该研究不仅提供了系统分析多稳态结构的方法论框架，而且为设计新型MEMS器件（如多态开关、可重构传感器和低功耗存储器）提供了重要指导。实际应用中，通过优化几何参数（如h₁/h₂比例、d₁/d₂比值）和耦合强度γ，可实现所需的稳定态数量和切换电压，推动MEMS器件向更高功能集成度和更优性能方向发展。