采用细分曲面技术的FEM-BEM分析方法，用于研究海底和海平面反射条件下薄壳结构的声学特性

《Ocean Engineering》：FEM-BEM Analysis with subdivision surface for acoustic analysis of thin-shell structures under sea floor and sea level reflection conditions

结构振动声耦合模拟方法研究

　　本文介绍了一种基于等几何有限元/边界元框架的新颖数值方法，用于模拟海床和海面双重边界反射条件下的振动声耦合现象。该方法引入了链式镜像源技术，以高效地考虑两个边界对外部声场的影响。为了实现高保真度的几何建模，采用了Catmull-Clark细分曲面方案，能够在满足Kirchhoff-Love壳体理论连续性要求的前提下，对复杂结构进行准确的表面重建。同时，该方法结合了等几何有限元法与等几何边界元法，并借助半空间基本解来捕捉海洋边界的影响。为了提升计算效率，还引入了快速多极子方法（FMM），显著减少了边界积分计算所需的内存和计算成本。最后，通过三个具有代表性的数值示例验证了该方法的可靠性。

在海洋工程领域，水下声学一直是一个关键的研究方向。数值模拟在结构设计中发挥着重要作用，其中有限元法（FEM）作为传统的结构动力学分析工具，已被广泛应用于各种工程问题。然而，FEM在处理无限域问题时存在固有的局限性，这使得其在解决户外声学问题时面临显著挑战。通常情况下，当使用FEM进行外部声学分析时，需要对无限域进行人工截断，并施加复杂的边界条件。这些边界条件不仅繁琐，而且会影响模拟的精度。在需要高精度的场景中，FEM往往难以满足期望。相比之下，边界元法（BEM）则成为解决外部声学问题的更优选择。BEM的优势在于，只需要对无限声学域的结构表面进行离散化，而无需对整个无限域进行建模。因此，BEM能够自然地满足无限域的边界条件，避免了人工截断的需要。

在实际工程应用中，目标结构很少是刚性的实体结构。大多数水下声学研究关注的是空心薄壳结构，例如潜艇的船体或水下探测器的外壳。因此，研究声振耦合现象变得尤为重要。空心结构在海水中的声学特性，主要体现在振动与传播声波之间的复杂相互作用。为此，研究者们提出了多种数值方法，以分析水下弹性结构在谐波激励下的声辐射和散射问题。其中，耦合有限元法与边界元法的方法被广泛应用于解决结构-流体耦合问题。这种方法不仅适用于结构优化和不确定性量化等研究领域，还展现了良好的通用性和适应性。

在数值模拟中，离散化方法和基函数的选择对于确保几何精度和计算准确性至关重要。传统的有限元法和边界元法通常使用分段多项式基函数，这些基函数通常只能提供C0连续性。然而，Kirchhoff-Love壳体理论要求壳体中表面至少具备C1连续性，以便准确计算曲率和弯曲应变。这使得传统的FEM或BEM在处理这类问题时面临挑战。相比之下，等几何分析（IGA）提供了一种更为先进的解决方案。IGA利用光滑基函数，将几何和物理场的表示统一在一个框架中，从而满足高阶几何连续性的需求。IGA常用的基函数包括B样条、非均匀有理B样条（NURBS）和细分曲面。其中，NURBS能够提供精确的几何表示和高阶连续性，但受限于结构化的张量积网格，这在处理复杂拓扑结构时存在一定的灵活性限制。此外，NURBS向标准有限元的转换过程（如Bézier提取）可能会影响单元之间的连续性，并增加计算负担。而Catmull-Clark细分曲面则提供了更为灵活的替代方案，它们能够在大多数表面上自然地保持C1连续性，包括在特殊顶点（如顶点的阶数不等于四）处，同时能够适应非结构化网格和任意拓扑结构。此外，细分曲面的多项式基函数在计算效率上也优于递归样条计算，使其特别适用于由Kirchhoff-Love理论描述的壳体结构。因此，本文采用了基于Catmull-Clark细分曲面的等几何有限元-边界元耦合框架，以实现对结构-声学耦合问题的高效求解。

在许多实际应用中，尤其是在浅海近岸水域，声波在海床和海面之间的反射对声场具有显著影响。这种现象可以被视为半空间或平面对称的声学问题。为了有效解决涉及边界反射的外部声学问题，研究者们提出了多种数值策略，主要包括基于模态叠加的方法和基于镜像源的方法。基于模态叠加的方法通常利用结构的振动模态作为广义基函数，将结构的位移表示为这些模态的线性组合。这种方法在处理有限水深环境下的结构响应时表现出色，特别是在分析结构本身的动态特性方面。例如，Zou等人（2018）提出了一种三维声弹性方法，结合了水弹性理论和水声传播理论，利用真空中的干模态作为广义基函数，通过模态叠加方法描述结构位移，从而实现对有限水深下船体结构的流体-结构耦合振动和声辐射分析。Jiang等人（2020）则开发了一种用于浅海环境下浮体声辐射的计算方法，考虑了复杂的海洋声学环境，并引入了适当的格林函数到三维声弹性理论中，利用模态叠加方法对结构位移进行建模，提高了流体-结构耦合振动和声场计算的效率。Lin等人（2024）研究了局部共振涂层圆柱壳在靠近自由海面的半浸没或完全浸没状态下的振动声响应，分析了不同涂层设计和自由表面对声辐射的影响，并采用傅里叶级数等模态展开方法来描述壳体的径向和切向位移，从而简化了结构振动分析和其对声辐射的贡献。Petrov和Petrova（2016）系统地研究了海面和海床对水下结构声辐射的约束机制，基于模态展开和绝热近似理论，提出了一种将水下声场表示为典型模态线性组合的方法，并通过李代数技术高效求解模态振幅的抛物方程。

另一方面，基于镜像源的方法则通过引入镜像源来模拟边界反射，从而有效解决外部声学问题。Yasuda和Sakuma（2005）提出了一种对称层状单元排列技术，与声场对称性相一致，从而简化了多极展开系数的计算。他们利用对称关系直接从原始域推导出镜像域中的多极/局部展开系数，避免了对镜像域进行显式计算的需要。Yasuda等人（2011）进一步利用球面调和函数的对称性，推导了平面对称声场中由单极和偶极源引起的多极展开系数的解析对称关系，为镜像域计算提供了更为通用的解析表达式。Brunner等人（2010）则通过镜像法构建了半空间格林函数，并结合分层单元结构和多极展开技术，显著提升了边界元法中矩阵-向量乘积计算的效率。üstünda?等人（2024）引入了波导格林函数，并采用链式镜像源方法模拟海面与刚性海床之间的多重反射效应，同时分析了表面边界条件、海床属性和结构浸没深度等关键参数对声场分布和辐射强度的影响。

尽管已有部分研究关注了双重边界反射问题，但结合多个镜像源的等几何有限元/边界元方法在振动声耦合系统中考虑海床和海面反射的研究仍较为有限。为了补充现有研究（Jiang等人，2020；Petrov和Petrova，2016；üstünda?等人，2024；Zou等人，2018），本文在Chen等人（2024a）提出的理论框架基础上，进一步拓展，提出了一种基于半空间域基本解的综合等几何有限元/边界元方法。该方法能够同时考虑海床和海面的反射效应，并引入快速多极子展开技术，以显著降低边界元法所需的内存消耗，提高计算效率。

本文的结构如下：第二部分介绍了在海床和海面反射影响下的壳体-声学耦合问题的建模方法；第三部分提出了利用快速多极子方法加速计算的技术；第四部分通过三个数值示例验证了所提出模型的精度和适用性；最后，第五部分总结了全文的主要研究成果和贡献。

在第二部分中，我们探讨了在海床和海面双重反射条件下壳体与声场的相互作用。图1展示了一个水下结构-声学耦合场景，其中弹性结构壳体占据域Ωs，浸没于流体域Ωf中。壳体与流体之间的耦合界面表示为Γsf，即无限域Ωf与结构壳体Ωs的交集，可以表示为Γsf：= Ωs ∩ Ωf。此外，域Ωa对应于由薄壳结构包围的内部空气区域。由于空气对振动的影响可以忽略不计，因此在建模过程中，我们主要关注壳体与流体之间的相互作用。为了准确模拟声波在海床和海面之间的反射，本文采用了链式镜像源技术，该技术能够有效地将两个边界的影响纳入到外部声场的计算中。具体而言，链式镜像源方法通过将原始源点的镜像点沿着海面和海床进行链式排列，从而模拟声波在多个反射边界上的传播路径。这种方法不仅能够提高计算效率，还能保证声场的准确重建。

为了实现高保真度的几何建模，本文采用了Catmull-Clark细分曲面技术。该技术能够在满足Kirchhoff-Love壳体理论连续性要求的前提下，对复杂结构进行准确的表面重建。细分曲面的多项式基函数具有较高的计算效率，相较于递归样条计算更为简洁，这使得其在处理由Kirchhoff-Love理论描述的壳体结构时更具优势。通过将Catmull-Clark细分曲面用于几何建模和声场近似，本文实现了结构与声场的统一离散化，从而提升了整体建模的精度和计算效率。

在第三部分中，我们介绍了快速多极子方法（FMM）的应用，以加速声场的计算。FMM是一种高效的数值方法，能够显著降低边界积分方程中矩阵-向量乘积的计算复杂度。在低频FMM中，计算复杂度可从O(N2)降低至O(N)，而在高频FMM中，计算复杂度可进一步降低至O(N log N)，其中N表示单元的数量。尽管这两种FMM形式在各自的频率范围内具有优势，但它们在实际应用中也存在一定的局限性。例如，低频FMM在处理高频声波时可能无法准确捕捉其传播特性，而高频FMM在处理低频声波时则可能因计算资源的消耗而变得不经济。因此，本文采用了一种更为通用的FMM方法，以兼顾不同频率范围下的计算效率和精度。

在第四部分中，我们通过三个数值示例验证了所提出模型的精度和适用性。第一个示例比较了在非反射边界条件下的数值解与解析解，以验证参考问题的正确性。第二个示例采用基于边界元法的脉动球模型，将计算结果与数值解进行对比，进一步验证了模型的有效性。第三个示例则分析了在海床和海面双重反射条件下的声场分布和辐射强度，展示了所提出方法在复杂边界条件下的适用性。这些示例不仅证明了所提出方法在模拟振动声耦合问题中的准确性，还展示了其在不同场景下的计算效率和灵活性。

综上所述，本文提出了一种基于等几何有限元/边界元框架的新颖数值方法，用于模拟海床和海面双重反射条件下的振动声耦合问题。通过引入链式镜像源技术，该方法能够高效地考虑两个边界对声场的影响。同时，采用Catmull-Clark细分曲面进行几何建模，确保了壳体结构的高保真度重建，并满足Kirchhoff-Love壳体理论的连续性要求。此外，结合快速多极子方法，该方法显著提升了计算效率，降低了内存需求。最后，通过三个数值示例验证了所提出方法的可靠性和适用性，为水下结构声学研究提供了一种新的分析工具。