基于双重相似性的缩放边界有限元方法，用于复杂分层半平面的场地响应分析

《Soil Dynamics and Earthquake Engineering》：A dual-similarities-based scaled boundary finite element method for site response analysis of complex layered half-planes

针对层状半平面动态土-结构相互作用建模难题，提出双几何相似性扩展的SBFEM方法。该方法通过多尺度中心及径向坐标ξ变换，实现复杂几何结构的适应性建模，将控制方程转换为可解的一阶偏微分方程系统，并满足辐射边界条件。数值验证表明该方法在异质分层和嵌入空洞场景下均能精确捕捉波传播特性。

　　动态土壤-结构相互作用在工程领域中具有重要的意义，尤其是在处理分层半平面结构时。这类结构在自然界和工程实践中非常常见，如地质构造中的分层地基、地下建筑以及地震波传播中的复杂地形。然而，由于分层半平面的动态特性难以准确获取，传统的数值方法往往面临诸多挑战。为了解决这一问题，本文提出了一种新颖的半解析方法，该方法通过引入双几何相似性的概念，扩展了缩放边界有限元法（SBFEM）的应用范围。该方法在每个SBFE元素的扇区中设置了独立的相似中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换自然地确保了边界从各自的缩放中心可见，从而显著提高了SBFEM在处理不规则几何结构时的灵活性。

在动态刚度分析中，采用伽勒金残差方案，将控制方程转换为关于径向缩放参数ξ的一阶偏微分方程组。与原始SBFEM相比，该方法中的元素系数矩阵与各自扇区级别的矩阵之间呈现出线性关系。这使得在频率域中求解系统时更加高效，同时考虑了无限远处的辐射条件。该方法保留了半解析求解的特性，因为ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。

为了验证该方法的有效性，本文在多种地质条件下进行了频率域分析，包括均质、正交各向异性、横向各向同性以及具有不规则形状的分层半平面。结果表明，通过引入双几何相似性的概念，该新型SBFEM能够有效地模拟具有复杂土壤结构的分层半平面，从而满足实际工程需求。在传统的SBFEM中，对几何结构的可见性要求限制了其在处理复杂几何配置时的应用，特别是凹形区域。为了解决这一问题，本文引入了双几何相似性的概念，使多个缩放中心可以在单个SBFE中使用，从而更容易满足可见性条件。

本文还介绍了SBFEM在弹性动力学问题中的应用。传统的SBFEM采用局部坐标系统，其缩放中心是固定的，这使得在处理复杂几何结构时面临一定的限制。为了克服这一限制，本文引入了双几何相似性的概念，使得每个扇区可以拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的灵活性和计算效率。通过这种方法，SBFEM的动态刚度方程可以被推导为关于ξ的一阶偏微分方程组，其中ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。

在数值示例部分，本文通过模拟波在分层半平面中的传播，验证了该新型SBFEM的有效性。其中，有界区域采用传统的SBFEM进行模拟，而无界区域则采用本文提出的SBFEM。首先，研究了一个均质半平面，以评估该方法的收敛特性。随后，该方法被用于分析不同土壤材料和地形条件下的非均匀性。对于更复杂的地质结构，如包含空腔的半平面，本文还进行了相应的模拟，以进一步验证其适用性。这些数值示例表明，该方法能够有效地处理具有复杂几何形状的分层半平面，同时保持较高的计算效率和准确性。

在结论部分，本文总结了该新型SBFEM的主要优势。该方法通过引入双几何相似性的概念，提高了传统SBFEM在处理复杂几何结构时的灵活性。在新的局部坐标系统下，每个扇区拥有独立的缩放中心，所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放，从而确保了几何兼容性和计算效率。该方法不仅能够准确模拟波在分层半平面中的传播，还能够有效处理不同地质条件下的动态响应问题。此外，该方法保留了半解析求解的特性，使得在频率域中求解系统时更加高效，同时考虑了无限远处的辐射条件。

在实际工程应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

缩放边界有限元法（SBFEM）是由Wolf和Song在1990年代提出的，它结合了有限元法（FEM）和边界元法（BEM）的优势，广泛应用于弹性动力学、弹塑性、损伤、断裂以及热传导等问题。SBFEM采用局部几何变换，其缩放中心是固定的，这使得在处理复杂几何结构时面临一定的限制。为了克服这一限制，本文引入了双几何相似性的概念，使得每个扇区可以拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的灵活性和计算效率。

在SBFEM的坐标系统中，每个基本元素的边界被缩放至所谓的缩放中心。从这一点出发，必须满足所有边界从缩放中心可见的条件。换句话说，几何结构必须是星形凸的。对于更复杂的几何结构，需要将研究区域进行分区以满足可见性要求。为了避免对无界区域的细分，研究者提出了将缩放中心替换为缩放曲线和直线的方法。近年来，研究者通过引入缩放拼接的概念，利用局部坐标系统中的耦合变量来模拟半平面结构。这种方法能够有效处理复杂几何形状的分层半平面，同时保持较高的计算效率和准确性。

在实际应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

缩放边界有限元法（SBFEM）作为一种半解析方法，具有较高的计算效率和灵活性。它通过引入局部几何变换，使得每个元素的边界在径向和圆周方向上进行缩放。在这种情况下，只需要对圆周方向的边界进行空间离散化，从而减少计算维度。这种离散化可以通过SBFEM与四叉树/八叉树网格生成技术的结合自动完成。此外，SBFEM能够直接满足无限远处的辐射条件，而不需要引入基本解。通过引入截断时间或对无界区域进行细分，可以进一步提高计算效率。

在SBFEM的坐标系统中，每个基本元素的边界被缩放至所谓的缩放中心。从这一点出发，必须满足所有边界从缩放中心可见的条件。换句话说，几何结构必须是星形凸的。对于更复杂的几何结构，需要将研究区域进行分区以满足可见性要求。为了避免对无界区域的细分，研究者提出了将缩放中心替换为缩放曲线和直线的方法。近年来，研究者通过引入缩放拼接的概念，利用局部坐标系统中的耦合变量来模拟半平面结构。这种方法能够有效处理复杂几何形状的分层半平面，同时保持较高的计算效率和准确性。

在本文提出的新型SBFEM中，通过引入双几何相似性的概念，每个元素的扇区拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的灵活性和计算效率。通过这种方法，SBFEM的动态刚度方程可以被推导为关于ξ的一阶偏微分方程组，其中ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。该方法能够有效地模拟波在分层半平面中的传播，同时考虑不同地质条件下的动态响应问题。

在实际工程应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

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相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

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在实际应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

本文提出的新型SBFEM通过引入双几何相似性的概念，提高了传统SBFEM在处理复杂几何结构时的灵活性。每个元素的扇区拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的计算效率。通过这种方法，SBFEM的动态刚度方程可以被推导为关于ξ的一阶偏微分方程组，其中ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。该方法能够有效地模拟波在分层半平面中的传播，同时考虑不同地质条件下的动态响应问题。

在实际应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

本文提出的新型SBFEM通过引入双几何相似性的概念，提高了传统SBFEM在处理复杂几何结构时的灵活性。每个元素的扇区拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的计算效率。通过这种方法，SBFEM的动态刚度方程可以被推导为关于ξ的一阶偏微分方程组，其中ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。该方法能够有效地模拟波在分层半平面中的传播，同时考虑不同地质条件下的动态响应问题。

在实际应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

本文提出的新型SBFEM通过引入双几何相似性的概念，提高了传统SBFEM在处理复杂几何结构时的灵活性。每个元素的扇区拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的计算效率。通过这种方法，SBFEM的动态刚度方程可以被推导为关于ξ的一阶偏微分方程组，其中ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。该方法能够有效地模拟波在分层半平面中的传播，同时考虑不同地质条件下的动态响应问题。

在实际应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

本文提出的新型SBFEM通过引入双几何相似性的概念，提高了传统SBFEM在处理复杂几何结构时的灵活性。每个元素的扇区拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的计算效率。通过这种方法，SBFEM的动态刚度方程可以被推导为关于ξ的一阶偏微分方程组，其中ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。该方法能够有效地模拟波在分层半平面中的传播，同时考虑不同地质条件下的动态响应问题。

在实际应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

本文提出的新型SBFEM通过引入双几何相似性的概念，提高了传统SBFEM在处理复杂几何结构时的灵活性。每个元素的扇区拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的计算效率。通过这种方法，SBFEM的动态刚度方程可以被推导为关于ξ的一阶偏微分方程组，其中ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。该方法能够有效地模拟波在分层半平面中的传播，同时考虑不同地质条件下的动态响应问题。

在实际应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

本文提出的新型SBFEM通过引入双几何相似性的概念，提高了传统SBFEM在处理复杂几何结构时的灵活性。每个元素的扇区拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的计算效率。通过这种方法，SBFEM的动态刚度方程可以被推导为关于ξ的一阶偏微分方程组，其中ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。该方法能够有效地模拟波在分层半平面中的传播，同时考虑不同地质条件下的动态响应问题。

在实际应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

本文提出的新型SBFEM通过引入双几何相似性的概念，提高了传统SBFEM在处理复杂几何结构时的灵活性。每个元素的扇区拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的计算效率。通过这种方法，SBFEM的动态刚度方程可以被推导为关于ξ的一阶偏微分方程组，其中ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。该方法能够有效地模拟波在分层半平面中的传播，同时考虑不同地质条件下的动态响应问题。

在实际应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量波和标量波问题。随着计算能力的提升和机器学习技术的发展，波行为的高效预测成为可能。这些方法能够准确且高效地求解波传播的控制方程，并被应用于模拟均质介质的动态响应。

本文提出的新型SBFEM通过引入双几何相似性的概念，提高了传统SBFEM在处理复杂几何结构时的灵活性。每个元素的扇区拥有独立的缩放中心，同时所有扇区边界在径向方向上进行统一缩放。这种变换不仅保证了扇区间的几何兼容性，还提高了模型的计算效率。通过这种方法，SBFEM的动态刚度方程可以被推导为关于ξ的一阶偏微分方程组，其中ξ作为独立变量，允许通过边界仅离散化的方式获得精确的解。该方法能够有效地模拟波在分层半平面中的传播，同时考虑不同地质条件下的动态响应问题。

在实际应用中，动态土壤-结构相互作用的分析对于评估结构的抗震性能、地下建筑的稳定性以及城市与地质环境的相互作用具有重要意义。传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然能够处理非均匀材料和任意形状，但在处理无限延伸的系统时，往往需要较大的模型规模，以避免截断边界处的虚假波反射，这会导致计算成本显著增加。为了应对这一问题，研究者提出了多种人工边界条件（ABCs），如边界元法（BEM）、薄层法（Thin Layer Method）以及缩放边界有限元法（SBFEM）。这些方法能够严格满足无限远处的辐射条件，但由于边界节点在空间和时间上的耦合，其计算成本变得很高，特别是在大规模或长时间的模拟中。

相比之下，局部人工边界条件如粘性边界和粘性弹簧边界虽然计算效率较高，但牺牲了一定的计算精度。完美匹配层（PML）是一种基于吸收层技术的代表性方法，它通过在截断区域附近设置特殊的吸收层来吸收向外传播的波。PML的最优性能取决于吸收层的设计，合理的吸收层参数可以有效减少波的反射，提高计算精度。近年来，研究者开发了结合上述技术的集成方法，用于处理分层半空间中的向量