收敛-发散通道间隙中的斯托克斯流：特征值、涡旋与复杂分支结构解析

《Journal of Fluid Mechanics》：Stokes flow in a converging–diverging channel gap: eigenvalues, vortices and complex branching

本文针对两静止等径圆柱间形成的收敛-发散通道，系统研究了二维稳态斯托克斯流。通过将流函数方程转化为双极坐标系下的特征值问题，研究人员揭示了由离散无限特征值谱生成的对称与非对称特征函数，这些函数表现为嵌套的粘性涡结构。研究发现，随着特征值增大，会形成愈发复杂的指状涡结构，且涡旋密度随间隙高度减小而增加。该研究为理解低雷诺数下复杂几何结构中的涡旋动力学提供了新的理论框架。

　　

在工业制造和自然现象中，流体在狭窄间隙中的流动行为至关重要。例如，在印刷、涂布等工业过程中，两个滚筒之间的油墨或涂料流动，其行为直接决定了最终产品的质量。这类流动通常发生在极低的雷诺数下，即惯性力远小于粘性力，此时流体运动由斯托克斯方程（Stokes equation）主导。为了精确描述这种流动，一个经典的模型是研究两个静止的、等直径的圆柱体之间的二维稳态流动。

尽管Jeffery（1922）和Miller（1942）等先驱已经利用双极坐标系（Bipolar Coordinate System, BCS）解决了圆柱体以任意速度旋转时的特定流动问题，但一个更深层次的问题依然悬而未决：当两个圆柱体完全静止时，流体内部是否还存在其他非平凡的解？这些解是否对应着复杂的内部涡旋结构？这些问题不仅具有理论上的挑战性，对于理解流体在受限几何结构中的稳定性也具有重要意义。

为了回答这些问题，来自达姆施塔特工业大学（Technical University of Darmstadt）的Matthias Rieckmann、Anton Erbach和Martin Oberlack团队在《Journal of Fluid Mechanics》上发表了一项研究。他们通过严谨的数学推导和数值分析，系统研究了双极坐标系下斯托克斯流函数的齐次解，揭示了其背后隐藏的离散特征值谱，并发现这些特征值对应着一系列从简单涡链到复杂指状结构的嵌套涡旋。

关键方法

研究人员采用了理论分析与数值计算相结合的方法。首先，他们利用双极坐标系将两个圆柱表面映射为常坐标线，从而简化了边界条件的施加。通过Bluman & Gregory（1985）提出的变换，将流函数的双调和方程（biharmonic equation）转化为线性常系数微分方程。随后，通过分离变量法，将问题转化为一个代数特征值问题。该特征值问题被分解为对称（symmetric）和非对称（asymmetric）两个分支，并最终通过数值方法求解。最后，通过分析流函数、速度场和停滞点（stagnation points）的性质，系统地表征了不同特征值对应的流动模式。

研究结果

1. 特征值的确定

通过求解齐次边界条件，研究将问题转化为一个代数特征值问题。该问题可以解耦为两个独立的系统，分别对应流函数在η坐标上为偶函数（非对称流）和奇函数（对称流）的情况。对于非对称流，特征值由方程sinh(2αη₀) + α sinh(2η₀) = 0确定；对于对称流，则由sinh(2αη₀) - α sinh(2η₀) = 0确定。通过数值求解，研究人员获得了离散的、无限的特征值谱。这些特征值依赖于间隙高度与滚筒半径之比h/R，随着h/R的减小，特征值的实部和虚部均显著增大。

2. 四种流动模式

通过组合流函数在ξ和η方向上的行为，研究确定了四种不同的解分支：ψ_l,a、ψ_l,s、ψ_r,a和ψ_r,s。其中，下标l和r分别表示流动从左向右或从右向左衰减，a和s分别表示非对称和对称流。研究重点分析了ψ_l,a和ψ_l,s两种模式。

3. 特征流动模式

对于非对称流（ψ_l,a），随着特征值增大，流动模式从简单的交替旋转涡链（对应第一个特征值）演变为复杂的指状结构。在第二个特征值下，两个同向旋转的涡旋被拉伸成指状，并伸入相邻的涡结构中。在第三个特征值下，这种指状结构更加复杂，涡旋密度进一步增加。流函数沿η=0的衰减分析表明，涡旋的相对强度随特征值增大而急剧衰减，高阶模态的涡旋在实验中可能难以观测。

对于对称流（ψ_l,s），流动在水平中心线（η=0）处存在一条分离线，导致沿该线出现自由停滞点。在中心线上下两侧形成交替旋转的涡旋。与不对称流类似，随着特征值增大，也会形成指状涡结构，但中心线上不形成涡旋。

4. 涡旋的间距与衰减

通过分析速度场，研究发现涡旋中心之间的近似距离d与特征值的实部成反比，即d ≈ π/α_r。而两个连续涡旋之间的相对强度衰减因子k由特征值虚部与实部的比值决定，即k ≈ e^{-π(α_i/α_r)}。随着间隙比h/R趋近于零，衰减因子k趋近于一个渐近极限。对于非对称流的第一模态，其极限衰减因子约为1/357.7，这与Moffatt（1964）在刚性板角涡中发现的极限值（1/365）非常接近。

5. 涡旋数量与临界间隙比

研究还发现，流场中的涡旋数量N_vortex与间隙比的平方根成反比，即N_vortex∝ (h/R)^-1/2。此外，存在一个临界间隙比(h/R)_crit≈ 0.5342，当间隙比大于此值时，主导模态可能只包含一个全局涡旋；当间隙比小于此值时，将出现多个涡旋。

结论与讨论

本研究通过求解双极坐标系下斯托克斯流的齐次问题，成功构建了一个特征值问题，并揭示了其对应的离散无限特征值谱。这些特征值生成了从简单涡链到复杂指状结构的嵌套粘性涡旋。研究结果表明，随着特征值增大或间隙高度减小，涡旋密度增加，涡旋尺度减小，且涡旋的相对强度衰减加剧。

该研究不仅为理解低雷诺数下复杂几何结构中的涡旋动力学提供了新的理论框架，其发现的指状涡结构与Moffatt角涡具有相似性，但提供了更一般的几何描述。研究得出的涡旋间距和衰减规律，为实验观测和数值模拟提供了重要的理论依据。尽管本文的方法无法直接处理两圆柱接触（h/R=0）的极限情况，但其结果与Dorrepaal & O'Neill（1979）利用匹配渐近展开法得到的结果在定性上相似，验证了本研究的有效性。