基于尾部依赖函数和尾部阶数的CoVaR测度：系统性风险度量新视角

《Journal of Multivariate Analysis》：Properties of CoVaR based on tail expansions of copulas

本文针对传统CoVaR在度量极端风险时对尾部依赖结构刻画不足的问题，研究了基于条件分位数定义的CoVaR测度与二元分布尾部依赖特性之间的理论联系。通过引入尾部依赖函数和尾部阶数等工具，作者系统分析了不同尾部依赖强度下CoVaR的渐近行为，建立了Copula函数的尾部展开与CoVaR调整因子之间的对应关系。研究发现，CoVaR的极限行为完全由底层Copula的尾部阶数κ决定，当κ=1时对应强尾部依赖，κ∈(1,2)时对应中等尾部依赖，κ=2时对应尾部正交独立。该研究为金融机构在极端市场条件下的风险传染效应提供了更精确的度量框架，对金融监管和风险管理具有重要理论价值。

　　

在金融风险管理领域，2008年全球金融危机暴露了传统风险度量工具的局限性，促使学界和业界寻求更有效的系统性风险监测方法。Adrian和Brunnermeier提出的CoVaR（条件在险价值）因其能够捕捉金融机构间的风险传染效应而受到广泛关注。然而，传统CoVaR测度在极端市场条件下的表现及其与联合尾部依赖结构的内在联系尚未得到充分探讨。特别是在金融市场剧烈波动时期，机构间的风险传导机制往往呈现出非线性和非对称特征，这就需要从理论层面深入剖析CoVaR的数学本质及其对尾部依赖特性的敏感性。

发表在《Journal of Multivariate Analysis》的这项研究，从多元极值理论的角度系统分析了CoVaR测度的理论性质。研究人员通过引入Copula理论中的尾部依赖函数和尾部阶数等工具，建立了CoVaR与二元分布尾部特征之间的严格数学联系。研究团队发现，CoVaR本质上可以表示为边际风险价值在调整水平上的取值，而这个调整水平完全由底层Copula函数的尾部特性决定。这一发现为理解不同依赖结构下CoVaR的渐近行为提供了统一的理论框架。

在技术方法层面，作者主要运用了Copula函数的尾部展开技术，通过设定尾部阶数κ和尾部阶数函数a(·)，建立了CoVaR调整因子的渐近表达式。研究还采用了条件分布函数的反函数分析，探讨了CoVaR^≤和CoVaR⁼两种定义在一致性、对称性和范围等方面的理论性质。对于样本分析，研究基于理论推导而非实证数据，重点考察了不同Cop族（如Gumbel、Clayton、Student-t等）的尾部展开特性。

CoVaR的Copula表示

研究首先建立了CoVaR与Copula函数之间的基本对应关系。当(X,Y)为连续二元随机向量时，CoVaR⁼_Y|X(p)可以表示为VaR_Y(v⁼(p;C_XY))，其中调整水平v⁼(p;C_XY)是方程C_XY(p,v) = p²的解。类似地，CoVaR^≤_Y|X(p)可以表示为VaR_Y(v^≤(p;C_XY))，其中v^≤(p;C_XY)是方程C_XY(p,v) = p²的解。这一表示揭示了CoVaR本质上是通过Copula函数将条件概率转化为边际分位数的调整水平。

尾部依赖强度与CoVaR渐近行为

通过引入尾部阶数κ的概念，研究发现了CoVaR调整因子的渐近行为与尾部依赖强度之间的严格对应关系。当κ=1时（强尾部依赖），调整因子r_p^≤= O(p)，表尾部的依赖程度最高；当κ∈(1,2)时（中等尾部依赖），r_p^≤= o(1)，表明尾部依赖程度中等；当κ=2时（尾部正交独立），r_p^≤= O(1)，表明尾部几乎独立。这一分类为不同市场 regime下CoVaR的应用提供了理论指导。

CoVaR的理论性质

研究详细分析了CoVaR在几种特殊依赖结构下的闭式表达式。对于共单调Copula（完全正依赖），CoVaR⁼_Y|X(p) = VaR_Y(p)，调整因子为1；对于独立Copula，CoVaR⁼_Y|X(p) = VaR_Y(p)，调整因子同样为1；对于反单调Copula（完全负依赖），CoVaR⁼_Y|X(p) = VaR_Y(1-p)，调整因子为(1-p)/p。这些闭式解为理解CoVaR在极端依赖情况下的行为提供了基准。

上尾CoVaR与下尾CoVaR的关系

研究还探讨了上尾CoVaR（对应机构盈利情形）与下尾CoVaR（对应机构亏损情形）之间的关系。当Copula具有反射对称性且边际分布具有对称尾部时，CoVaR⁼_Y|X(p) = -CoVaR⁼_Y|X(1-p)，CoVaR^≤_Y|X(p) = -CoVaR^>_Y|X(p)。这一对称性质为衡量风险溢出的不对称性提供了理论依据。

研究结论表明，CoVaR测度的有效性高度依赖于底层依赖结构的尾部特性。尾部阶数κ作为描述联合尾部依赖强度的关键参数，直接决定了CoVaR在极端分位数处的渐近行为。这一发现对金融风险管理实践具有重要启示：在应用CoVaR进行系统性风险监测时，必须充分考虑金融机构间依赖结构的尾部特征，而非简单地假设某种特定的依赖模式。特别是对于具有中等尾部依赖（κ∈(1,2)）的情况，传统基于极值理论的方法可能低估风险传染效应，需要采用更精细的建模技术。

该研究的理论框架为CoVaR在极端条件下的行为预测提供了坚实基础，使监管机构能够更准确地评估金融体系的脆弱性。未来研究可在此基础上发展基于尾部阶数的系统性风险早期预警指标，以及考虑多机构网络效应的广义CoVaR测度。此外，将这一理论框架与实时市场数据相结合，开发动态CoVaR监测系统，将是金融稳定监测的重要发展方向。