《Journal of Ocean Engineering and Science》：A nonlinear deformation field reconstruction approach for hull girder structures
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本文提出一种基于逆有限元（iFEM）和降阶基（Reduced Basis）的非线性变形场重构方法，适用于船体薄壳结构的大变形分析。通过应变传感器数据与NURBS基函数结合，构建四节点逆壳元模型，利用加权最小二乘变分原理和几何更新技术实现实时非线性变形场重构。实验表明该方法能有效捕捉船体结构屈曲失效模式及变形演化过程，验证了其在复杂载荷下的准确性。
在现代海洋工程中，确保船舶结构的安全性和完整性管理是一项关键任务。其中，结构健康监测（Structural Health Monitoring, SHM）作为重要的技术手段，能够实时感知结构的变形情况，从而为结构安全评估和潜在故障识别提供支持。然而，对于复杂船舶结构在显著载荷作用下的非线性变形场和失效模式的评估仍然面临巨大挑战。因此，本文提出了一种创新的形状感知方法，旨在高效且精确地重构薄壳结构的非线性变形场，仅依赖于有限的离散应变测量数据。通过引入非均匀有理B样条（NURBS）基函数，该方法替代了传统有限元分析中使用的插值形状函数，以构建应变测量与理论应变之间的关系。同时，结合四节点逆壳元（iQS4）与Kirchhoff壳理论，能够获取膜应变和弯曲应变的测量数据。通过结合加权最小二乘变分原理与基于非线性应变增量构建的降阶基矩阵，对模型进行优化，使模型在几何更新过程中整合变形连续性条件和边界条件，从而建立一种适用于复杂船舶结构实时重构非线性变形场的方法。最后，通过箱型梁的四点弯曲实验验证了该方法的有效性和准确性，实验结果表明该方法能够有效捕捉结构在极限载荷下的大变形场和失效模式，为船舶局部结构失效的快速评估、模型测试决策调整以及结构失效行为的分析提供了一条新的研究路径。
### 1. 引言
近年来，许多研究团队致力于探索如何重构变形场，这一技术通常被称为“形状感知” [
1 ,
2 ]. 获取变形场是主动识别结构机械响应的关键手段之一。在SHM系统中，基于变形的监测方法构成了重要的组成部分。在恶劣的海洋环境和长期腐蚀作用下，船舶结构可能会经历屈曲变形失效或现有损伤的加剧 [
3 ]. 因此，现场评估结构完整性成为防止船舶灾难性失效的重要措施。然而，这类损伤通常几乎不可见且难以检测。有效地跟踪大型结构的动态变形，并在灾难性结构失效发生前预测逐渐累积的损伤，是开发SHM系统的主要挑战之一。
形状感知技术利用现场布置的应变传感器网络，结合测量的应变数据，以动态跟踪结构的实时变形，并通过适当的失效标准来检测结构损伤和失效模式 [
[4] ,
[5] ,
[6] ,
[7] ]. 该方法需要解决一个逆问题，即推导出空间采样应变值与未测量结构位移之间的稳定联系，广泛应用于各种传感场景。目前存在多种方法，包括数据驱动方法，这些方法利用神经网络和替代模型来加速逆问题的求解 [
8 ]. 然而，这些方法由于其训练模型的范围有限，可能会在处理未遇到的数据模式时产生显著的误差。此外，如Tikhonov正则化 [
9 ], 基于模态的算法 [
4 ], 以及Ko位移理论 [
10 ] 等方法也被提出。大多数研究集中在解决结构变形重构的挑战上。Ko理论尝试通过一组先验空间函数和适当的权重，拟合测量应变以推导位移场，这需要大量的未知系数，因此需要更多的应变传感器。此外，Ko理论仅适用于梁结构的一维变形，限制了其在工程中的应用范围。Belur等人 [
11 ] 引入了一种基于iFEM的创新模态SHM方法，用于诊断板和壳结构的损伤。
形状感知技术在实际应用中面临的主要挑战是需要大量的先验知识，例如载荷、阻尼特性、弹性惯性材料属性或精确的有限元模型，这些通常难以获取或测量。Tessler [
12 ] 引入了一种基于变分原理的鲁棒形状感知算法，称为逆有限元方法（iFEM）。值得注意的是，该方法不需要载荷或材料属性的先验知识 [
13 ,
14 ], 但能有效重构梁、板和壳结构的变形场。Kefal和Oterkus设计了一个四节点正交壳元（iQS4），并将其成功应用于化学油轮和散货船的结构变形和应力场重构 [
3 ]。Zhu等人开发了一种新的逆梁元，其形状函数为二阶形状函数，将iFEM方法扩展到复杂轴向力作用下的海底管道。Li等人 [
27 ] 在典型潜艇压力壳上布置应变花，探索iFEM方法在潜艇SHM中的适用性，验证了其鲁棒性。通过实施iFEM方法，Abdollahzadeh等人 [
28 ] 成功监测了海洋船舶结构在代表性的静水压力和水波冲击载荷下的位移行为。Abdollahzadeh等人 [
28 ] 还利用iFEM方法监测了船舶壳体结构在代表性载荷下的变形。此外，Wei等人 [
29 ] 构建了一个四节点逆正交壳数学模型，以实现刚性板结构在弹性阶段的变形场重构，并开发了虚拟-现实融合系统以服务于船舶结构的机械测试。
现有的iFEM框架主要基于小位移假设，以实现结构的线性变形重构，这在大位移条件下的应用存在明显局限。为应对这一挑战，研究人员提出了多种改进方案。Tessler等人 [
30 ] 开发了一个iFEM计算的增量程序，该程序在每个载荷步中评估增量位移，并更新变形结构的几何形状，以确保准确的评估。该增量iFEM程序通过两个案例研究，展示了其在捕捉载荷-位移曲线的非线性特征方面的足够准确性：一个涉及悬臂翼形板，另一个涉及夹紧板。Zhao等人 [
31 ] 引入了一种基于应变梯度理论的创新非线性iFEM算法，这有助于在显著挠曲下进行非线性形状感知。同样，Tang等人 [
32 ] 提出了一种称为iMITC4的逆壳元，该方法采用张量分量混合插值（MITC）方法解决剪切锁问题，并使用增量迭代方法重构悬臂梁结构的大变形。Abdollahzadeh等人 [
6 ] 利用多项式应变预外推技术从部分应变测量中获得全局逆元的应变，通过iFEM–iQS4公式重构薄层合板的大变形。多项式表示依赖于结构配置和测量点的数量和空间分布。然而，必须指出，基于几何逆壳元的非线性变形场重构的应用研究仍然相对有限。现有文献主要集中在简单板、壳和梁结构的大变形分析 [
20 ]. 对于受弯曲和后屈曲载荷作用的薄结构，iFEM算法在几何非线性变形重构中的预测能力仍需系统性验证 [
6 ]. iFEM被认为是结构变形场重构最具前景的方法之一 [
17 ,27]. 大多数现有研究集中在使用有限离散测量数据重构结构变形场的线弹性范围，相关研究较少涉及非线性阶段。当船舶结构遭遇显著载荷并进入非线性阶段时，必须同时考虑几何和材料非线性。使用牛顿-拉夫森法求解非线性控制方程变得耗时，无法满足快速响应的需求。本文旨在基于IGA利用有限离散测量应变数据构建一个四节点逆壳元的数学方程，并提出一种降阶基方法，以应对变形场重构的快速计算挑战。最终目标是开发一个基于应变增量的实时重构算法，实现非线性变形场的精确重构，并有效识别船舶结构的失效模式。
### 2. 逆正交壳元
Kefal和Oterkus提出了一个基于等几何分析的Kirchhoff-Love逆壳元，用于重构薄板结构的变形场，该方法采用加权最小二乘法 [
34 ]. 如图1所示，该逆壳元通过参数坐标
