建模异质性易感性和传染性：一种非局部状态结构的SIR流行病模型

《Mathematics and Computers in Simulation》：Modeling the heterogeneous susceptibility and infectivity: A nonlocal state-structured SIR epidemic model

非局部状态结构SIR模型分析异质性易感性与感染性影响，构建Lyapunov函数证明基本再生数R0唯一决定疾病自由平衡态和endemic平衡态全局稳定性，数值模拟显示非局部核显著影响疾病传播动态，并基于离散化模型预测中国结核病流行趋势，提出多项有效干预措施。

　　在当前的流行病学研究中，构建能够准确反映疾病传播动态的数学模型对于理解疾病的流行趋势和制定有效的防控策略具有重要意义。本文提出了一种非局部状态结构的SIR（易感-感染-恢复）传染病模型，该模型通过积分微分方程（IDEs）来刻画宿主的异质性易感性和感染个体的可变感染力。模型不仅考虑了感染者的感染状态和空间位置的非局部转移，还通过构造适当的李雅普诺夫泛函，证明了基本再生数对疾病无病稳态和地方病稳态的唯一性决定作用。这一发现为评估疾病传播的长期趋势提供了理论基础，并为制定有效的干预措施提供了指导。

文章指出，传染病的传播动态受到多种因素的影响，包括宿主的易感性差异、病原体的感染力变化以及非局部转移过程。这些因素的综合作用使得传统的基于常微分方程（ODEs）或偏微分方程（PDEs）的模型在某些情况下无法准确反映疾病的传播特征。例如，在TB（结核病）的传播过程中，个体的免疫状态、年龄、性别以及环境因素都会显著影响其对疾病的易感性和感染性。这种非局部性意味着感染个体可能从一个状态转移到另一个状态，而这种转移并不局限于相邻状态，因此需要引入非局部转移核函数来描述这种动态变化。

为了更好地模拟这些复杂的传播机制，文章构建了一个非局部状态结构的SIR模型，并将其扩展为一个包含疫苗接种、潜伏期、治疗和恢复的SVELITR模型。该模型通过离散化非局部状态结构，将连续的积分方程转化为可计算的差分方程，从而能够对TB在中国的流行趋势进行定量分析。模型中的参数被根据中国TB的通报数据进行校准，结果显示，TB在中国的根除可能需要近三百年的时间，这主要归因于基本再生数低于1。这一发现突显了当前防控措施的局限性，并强调了需要采取更全面的干预策略，以提高TB的控制效果。

文章还通过数值模拟验证了模型的理论结果，并进一步分析了非局部转移核函数对疾病传播动态的影响。研究发现，具有更高转移强度的核函数会显著增加基本再生数，从而加剧疾病的传播。此外，对基本再生数的静态敏感性分析和关键变量的动态敏感性分析表明，某些干预措施，如提高易感人群的疫苗接种率、减少接触率、降低特定病原体的感染力以及延缓疾病进展，对降低基本再生数具有显著效果。这些策略的实施将有助于控制疾病的传播，实现更有效的公共卫生管理。

在模型的构建过程中，作者采用了基于非局部转移的积分方程，并通过引入李雅普诺夫泛函，证明了模型的全局稳定性。李雅普诺夫泛函的构造是基于模型的线性化分析，特别是针对无病稳态和地方病稳态的稳定性条件。研究发现，当基本再生数小于或等于1时，无病稳态是全局渐近稳定的，而当基本再生数大于1时，地方病稳态则成为唯一的全局稳定状态。这一结论为流行病学研究提供了新的视角，并有助于理解疾病传播的长期行为。

此外，文章还探讨了模型的全局持久性，这是确保地方病稳态存在的关键条件。作者通过引入适当的函数空间和数学工具，证明了在基本再生数大于1的情况下，模型能够维持一定的疾病流行水平，从而为防控策略的制定提供了理论依据。研究进一步表明，非局部转移核函数在疾病传播中的作用不可忽视，其特性可能影响疾病的传播速度和范围。

在实际应用方面，文章通过将非局部状态结构模型离散化，构建了一个适用于中国TB数据的SVELITR模型，并对模型进行了数值实验。实验结果不仅验证了模型的理论预测，还为政策制定者提供了具体的干预建议。例如，文章指出，通过提高高风险群体的疫苗接种率、加强密切接触者的干预措施以及针对易感人群的筛查和管理，可以有效降低TB的流行率。此外，文章还强调了基因、环境和生活方式等因素在疾病传播中的作用，这为个性化防控策略的制定提供了新的思路。

文章的结构较为清晰，分为多个部分，包括引言、模型构建、基本再生数的计算、稳态分析、全局稳定性、动态行为和结论。在引言部分，作者介绍了传染病传播的基本机制，并指出现有模型在处理非局部转移和宿主异质性方面的不足。随后，作者详细描述了模型的构建过程，并通过理论分析和数值实验验证了模型的有效性。在稳态分析部分，作者探讨了无病稳态和地方病稳态的存在性，并通过构造李雅普诺夫泛函证明了模型的全局稳定性。在动态行为部分，作者展示了模型在不同参数条件下的响应，并分析了非局部转移核函数对疾病传播的影响。最后，作者总结了研究的主要贡献，并指出了未来研究的方向。

综上所述，本文提出了一种新的非局部状态结构的SIR模型，通过引入异质性易感性和感染性，以及非局部转移核函数，更准确地模拟了传染病的传播过程。模型不仅具有理论上的严谨性，还具有实际应用价值，为公共卫生政策的制定提供了重要的参考。研究结果表明，基本再生数是决定疾病传播动态的关键参数，而通过有效的干预措施可以显著降低其值，从而控制疾病的传播。此外，文章还强调了非局部转移核函数在疾病传播中的重要性，并指出其对基本再生数的影响需要在模型设计中予以充分考虑。