考虑隧道散射效应的周期性明沟-波阻块联合屏障对瑞利波的宽带衰减机理与性能优化研究

本研究创新性地提出一种结合布拉格散射（Bragg scattering）与局域共振（local resonance）的周期性明沟-波阻块联合隔振屏障，通过建立隧道-屏障耦合模型并应用Floquet周期边界条件，系统揭示了其在11.3～67.3 Hz范围内形成三重带隙的机理。研究发现沟槽深宽比是调控低频带隙扩展的关键因素，而隧道散射效应可使中高频传输衰减峰值提升46%，为复杂地下环境中宽带隔振屏障的设计提供了理论支撑。

　　

1 引言

表面波特别是瑞利波，是地震事件和城市环境振动（如轨道交通和工业机械引发）中能量传输的主要载体。瑞利波沿地表传播时能量集中于浅层土体，振幅随深度呈指数衰减，这对隧道、地铁、管道等地下结构及邻近建筑物的稳定性构成显著威胁。全球每年因振动导致的隧道维护成本高达数十亿美元，而地陷等次生灾害对基础设施稳定性的影响更为深远。

传统隔振策略中，明沟和波阻块是两种主要方法。明沟通过几何散射和阻抗失配反射弹性波能量，但其低频有效性受几何尺寸限制；波阻块则依靠材料刚度与周围土体的阻抗对比反射高频振动，但对中低频波效果较差。这两种传统方法独立使用时频带宽度窄，难以覆盖从低频地震波（<20 Hz）到高频环境振动（30–80 Hz）的全频谱隔离需求。

近年来研究者尝试将明沟与波阻块结合以扩展隔振带宽，但复合系统仍存在局限：低频带隙仍依赖沟槽深度，需大量开挖；高频带隙受波阻块与土体阻抗匹配控制；带隙间存在频率盲区。更重要的是，现有研究多假设理想化均匀地基，忽略了实际地质异质性（如凹陷、隆起和隧道）引入的散射效应。隧道作为典型地下结构，当其埋深与振动波长相当时，会通过反射和衍射显著改变波场分布。

2 数学模型与周期波屏障的特征值计算

2.1 问题的数学模型

为实现宽带隔振，本研究设计了一种新型周期性明沟-波阻块复合隔振系统，并建立了隧道-周期波屏障系统的数学模型。假设结构沿z方向无限延伸，可将三维问题简化为平面应变问题。通过施加周期边界条件，进一步将二维模型简化为单元细胞模型以提高计算效率。简化模型中上表面为自由边界，底部边界固定，这些是模拟半无限弹性域中波传播的标准条件。

单元细胞模型中，顶部白色区域代表明沟，底部灰色区域表示波阻块。周期结构的晶格常数为a，单元内明沟与波阻块的总高度为h₁+h₂ = 2 m，明沟宽度记为a_t。

2.2 特征值计算

波阻块和地基模拟为均匀各向同性完全弹性介质，忽略体积力影响。半无限地基的介质波动方程为：

(λ+μ)?(?·u)+μ?²u=ρ?²u/?t²

其中ρ为弹性介质密度，λ和μ为拉梅常数，u为位移矢量。

为计算无限周期晶格的色散关系，在单元左右两侧应用Floquet周期边界条件。根据Bloch-Floquet理论，方程的解可写为：

u(r,t)=e^i(k·r-ωt)u_k(r)

其中r为位置矢量，t为时间，k=(k_x,k_y)为Bloch-Floquet波矢，u_k(r)为与位置矢量相关的位移函数，ω为角频率。

u_k(r)满足：u_k(r)=u_k(r+a)

其中a为单位常矢量。

将周期位移边界条件代入可得：

u(r+a,t)=e^i(k·a)u(r,t)

通过应用周期边界条件，将无限传播问题转化为单元细胞的特征值问题。结合波动方程和周期条件，得到单元细胞的特征值方程：

(K-ω²M)u=0

其中K和M分别表示刚度矩阵和质量矩阵。通过求解特征值和特征向量，可获得波矢k与角频率ω之间的色散关系。

3 求解非饱和地基的动力响应问题

本研究采用的周期性明沟-波阻块复合隔振屏障典型单元如模型所示，其中波阻块和既有隧道结构由混凝土制成。主要几何参数见表1，场地土体的物理力学参数见表2，参数设置满足半无限均匀地基的模拟要求。

通过COMSOL多物理场仿真平台进行色散关系计算和振动传递分析。在自由三角形网格生成过程中，严格控制单元最大尺寸不超过最小波长的1/5。采用声锥法提取瑞利波场，根据土体剪切波速确定声锥边界条件，通过声锥分离技术实现面波与体波的有效解耦。

3.1 色散曲线分析

周期性明沟-波阻块复合隔振屏障的色散曲线显示存在三个明显带隙（蓝色阴影区域）：第一带隙11.3–14.6 Hz，第二带隙33.5–36.8 Hz，第三带隙40.9–67.3 Hz。由于地震波频率主要低于20 Hz，环境振动频率 around 30–80 Hz，该屏障覆盖了地震波和环境振动的主要频带，三个带隙的叠加实现了从低频地震波到高频环境振动的宽频隔振，突破了传统隔振屏障的频带限制。

色散曲线上三个特殊点（A、B、C）的振动模式揭示了不同带隙的形成机制。点A模式中特征明沟区域位移幅度最大，波阻块几乎无变形，低频带隙以局域共振效应为主；点B处波阻块与明沟交界处位移剧烈波动，形成驻波模式；点C明沟呈现高频弯曲振动。高频带隙由阻抗失配和模式耦合形成，波阻块的高刚度与地基柔性形成强阻抗对比，反射高频波，同时明沟的几何散射进一步耗散能量。

3.2 材料参数和几何参数对带隙的影响

明沟深度与波阻块深度比（h₁/h₂)通过调节局域共振与布拉格散射的平衡显著影响低频带隙。当h₁/h₂从0.2增至0.6时，第一带隙开始出现，明沟深度增加降低了单胞整体刚度，使局域共振频率向低频移动，显著增加带隙宽度。

明沟宽度比（a_t/a）控制中高频带隙的布拉格散射效率。当a_t/a从0.1增至0.4时，二阶带隙消失，一阶和三阶带隙呈减小趋势。周期常数a固定时，其值直接决定布拉格散射的临界波长，从而锁定带隙的中心频率范围。明沟宽度a_t的调节通过扩展散射界面范围增强相消干涉效率，但a_t/a过大时，明沟占据单胞主要体积会削弱波阻块的质量惯性效应，导致低频带隙宽度变窄。

波阻块材料参数（密度ρ_c、弹性模量E_c）在特定条件下起协同作用：密度增强低频阻抗失配，补偿浅沟槽的局域共振效率；弹性模量通过调节波阻块刚度优化高频布拉格散射的相位匹配条件。但在现有设计框架下，材料参数的调节空间有限，当波阻块与地基的阻抗差异足够显著时，进一步调整对带隙扩宽的作用较弱。实际工程应以几何优化为主，材料参数适应性为辅，在成本控制前提下实现宽频高效隔振。

3.3 考虑隧道效应的有限个周期屏障传输分析

为验证色散关系准确性和周期复合隔振屏障的性能，建立二维有限元模型，设置六排屏障。在模型左侧输入端施加振幅1000 N的竖向谐荷载，右侧设置输出端点A检测表面位移振幅。模型周围添加PML匹配层防止振动波边界反射。

采用传输衰减（TA）系数评估考虑隧道散射的周期波屏障隔振性能：

TA=20log₁₀(?_y/u_y)

其中?_y为设置屏障后地基表面输出端的平均竖向位移，u_y为无屏障时地基表面输出端的平均竖向位移。

传输衰减系数曲线验证了色散曲线的正确性，并揭示了隧道对隔振性能的增强机制。不考虑隧道影响时，TA曲线与色散曲线预测的带隙范围一致，低频段峰值衰减达16 dB，中高频段峰值衰减可达45 dB。考虑隧道影响后，色散曲线预测的带隙范围大致一致，但随着频率升高，中频段f=36–40 Hz范围内考虑隧道影响的传输曲线出现显著衰减，与不考虑隧道影响的峰值衰减差异达46%。这是因为隧道埋深浅，中频波段波场恰好等于隧道埋深，大部分弹性波被隧道反射并散射至地基内部，导致隔振效果差异。高频段波长较小，仅部分弹性波被隧道反射散射。

设置隔振屏障前后地表竖向位移随频率变化曲线进一步揭示了隧道存在引起的隔振效果差异原因。无屏障时，隧道地表竖向位移在15–40 Hz范围存在明显差异；设置屏障后，某些局部频段地表竖向位移出现明显衰减，对应周期隔振屏障的带隙范围。隧道与周期隔振屏障的联合作用机制表现为：带隙范围内周期隔振屏障反射的弹性波受隧道影响发生二次反射和散射，导致隔振效果显著差异。

不同频率下有屏障与无屏障时地基位移云图对比揭示了隧道与周期屏障在不同频率下对弹性波的联合作用机制。低频段（5 Hz）：无屏障时隧道对长波长地震波反射效率有限；频率增至11.4 Hz时，无屏障情况下隧道反射弹性波，设置屏障后部分面波能量被局域化，另一部分被屏障反射至地基内部，部分被隧道反射。频率增至20 Hz和32 Hz时，无屏障情况下20 Hz波绕隧道传播导致横向位移集中，设置屏障后屏障通过布拉格散射，隧道反射波与屏障散射波形成相消干涉，显著优化了轨道交通振动主频的隔离效率。频率增至45 Hz和50 Hz时，无屏障情况下隧道对50 Hz产生的短波长作用较弱，位移分布类似于自由场；设置屏障后屏障通过高频布拉格散射抑制45 Hz位移，隧道-屏障间隙的驻波模式影响屏障后区域位移，导致考虑隧道效应时传输曲线出现振荡变化。

4 结论

通过构建周期性明沟-波阻块复合隔振屏障的隧道耦合模型，结合Floquet周期边界条件和有限元仿真，从色散关系和振动模式角度揭示了带隙形成机理，探讨了波阻块深度比、宽度比和材料参数对带隙范围的影响，通过传输衰减系数与位移云图对比量化了隧道散射对隔振性能的增强效果，分析了弹性波与隧道-屏障复合结构的相互作用机制。

研究结果表明：

1. 1.
   通过低频局域共振与中高频布拉格散射的协同作用，在11.3–67.3 Hz范围内形成三重带隙，覆盖地震波和环境振动的主要频带，突破了传统屏障的窄带隔振限制。
2. 2.
   明沟深度比和宽度比是控制带隙范围的关键变量。h₁/h₂增至0.6时低频带隙宽度扩展，a_t/a超过0.4时明沟体积占比过大会削弱波阻块惯性效应。波阻块材料参数在特定条件下对带隙起协同作用，但当波阻块与地基阻抗差异显著时，进一步调整对带隙扩宽作用较弱，实际工程应以几何优化为主。
3. 3.
   隧道存在对周期隔振屏障性能有显著影响，中频段传输衰减系数峰值差异达46%。低频段弹性波被屏障阻挡后发射至隧道区域，隧道对长波长地震波反射效率有限；高频段波长较短，仅部分弹性波被隧道反射散射。这促进了弹性波能量向地基的二次反射，并与屏障散射波形成相消干涉，揭示了隧道与周期波屏障在不同频率下的协同隔振机制。