推导线性稳定的Onsager对称原理一致方程及其在力驱动泊肃叶流中的验证

本刊推荐：为解决稀薄气体动力学中Navier-Stokes (N-S)方程在滑移和过渡流态(10-3 < Kn < 10)预测不准的问题，研究人员基于Boltzmann方程和13矩框架，推导出高阶输运方程。该方程无条件线性稳定、符合Onsager对称原理(OSP)和热力学第二定律，并通过力驱动泊肃叶流问题的解析解验证，成功捕捉了Knudsen层、非均匀双峰压力分布、非傅里叶热流和非平衡温度凹陷等关键现象，为高Knudsen数稀薄气体动力学提供了更精确的模型。

　　

在航天器再入、高空飞行和微机电系统等前沿领域，气体在微尺度通道中的流动行为呈现出与常规尺度截然不同的物理特性。当气体的分子平均自由程与系统特征尺度相当时，流动便进入稀薄气体动力学范畴，其核心参数Knudsen数(Kn)成为划分流动状态的关键：连续流(Kn < 10^-3)、滑移流(10^-3 < Kn < 10^-1)和过渡流(10^-1 < Kn < 10)。传统的Navier-Stokes (N-S)方程基于连续介质假设，在Knudsen数较大的流动中难以准确描述非平衡效应，如速度滑移、温度跳跃、非均匀压力分布以及反常热传导等现象。这促使研究者发展能够捕捉更高阶非平衡效应的高阶输运(Higher-Order Transport, HOT)方程。

目前推导HOT方程的主要方法包括Chapman-Enskog展开、Grad矩方法和近期发展的Onsager一致方法。Chapman-Enskog方法通过将分布函数在平衡态附近展开，得到Burnett和super-Burnett方程，但这些方程存在线性不稳定性和违反热力学第二定律的问题。Grad的13矩(G13)方程虽能改善预测，但仍存在双曲性导致的激波不连续性和高马赫数下分布函数可能为负的缺陷。正则化13矩(R13)和26矩(R26)方程试图结合两种方法的优点，却以复杂性和需要更多边界条件为代价。另一方面，基于最大熵原理的矩封闭方法虽具有坚实的数学物理基础，但计算成本高昂。近年来，一种新颖的Onsager对称原理(Onsager Symmetry Principle, OSP)一致方法被提出，其通过将分布函数表示为热力学力与流的组合，确保了热力学第二定律的满足，并在线性化Boltzmann方程和相容性条件下推导出Onsager-Burnett (OBurnett)方程，在多种稀薄流动问题中展现出良好性能。

在此研究背景下，Upendra Yadav、Ravi S. Jadhav和Amit Agrawal在《Journal of Fluid Mechanics》发表了最新研究成果。他们旨在推导一个更广义的、无条件线性稳定、符合OSP和热力学第二定律的高阶矩方程，以克服现有模型的局限性，并将连续介质流体力学的应用范围扩展至早期和中期过渡流态，捕捉N-S、G13和传统Burnett型模型无法描述的非平衡流动现象。

研究人员采用的关键技术方法主要包括：1) 基于Boltzmann方程和二阶精度分布函数，在13矩框架内进行推导；2) 运用迭代细化技术获得扩展分布函数，其中结合了Euler和N-S方程对物质导数的替换；3) 对Maxwell分子模型，采用BGK碰撞模型计算应力张量和热流矢量演化方程中的产生项；4) 通过线性稳定性分析（正态模扰动法）证明方程的无条件线性稳定性；5) 利用热力学力与流的关系验证OSP一致性；6) 通过线性化形式证明体熵生成率的非负性以确保符合热力学第二定律；7) 选择力驱动泊肃叶流这一标准基准问题，并采用半线性化方法获得完整的解析解；8) 使用文献中的直接模拟蒙特卡洛(DSMC)数据（Kn=0.072, 无量纲力G=0.2355）进行评估和验证，通过匹配壁面边界条件来确定解析解中的积分常数。

2. 单粒子分布函数

研究从描述热力学系统演化的Boltzmann方程出发，其解即单粒子分布函数，是连接微观世界与宏观世界的桥梁。通过Chapman-Enskog展开，零阶Maxwellian分布(f₀)和一阶修正(f₁)可分别用于推导Euler和N-S方程。基于迭代细化技术，研究者进一步获得了二阶修正项(f?₂)，并将其表达为热力学力(X_j)与其对应的微观共轭流(Υ_j)的形式，其中j代表粘性过程(τ)和热非平衡过程(q)。该分布函数不仅满足线性化Boltzmann方程和相容性条件，更重要的是与OSP一致。

3. 广义13矩方程组

通过求Boltzmann方程的矩，得到了三维广义13矩输运方程，包括质量、动量和能量三个守恒方程，以及应力张量和热流矢量的演化方程。对于Maxwell分子，采用BGK碰撞模型，其产生项具有简单的形式。方程组中包含三个未知的高阶矩（闭合关系），需要对其进行计算以获得封闭的方程组。

3.1. 闭合关系

为实现方程组(3.1)-(3.5)的闭合，将推导出的分布函数(2.4)代入三个高阶矩的定义式中进行积分。遵循Jin & Slemrod (2001)的方法，首先利用理想气体状态方程、N-S和Fourier定律替换闭合关系中出现的N-S应力和热流项，使表达式更紧凑。其次，为保持所提出的超Onsager 13矩(SO13)方程的三阶精度，忽略了来自Knudsen数四阶的项，因为剩余项为Knudsen数三阶。经过代数简化，最终得到了所需的闭合关系式(3.9)-(3.11)。其中参数a_s = 1.61, a_qv = 1/2, a_qs = -5/2 满足动能理论的相加不变性条件，且与Knudsen数无关。这一修改确保了方程的线性稳定性、OSP一致性和对热力学第二定律的遵守。

4. 线性稳定性分析

本章通过一维线性化方程证明了所提出方程的稳定性。将相关量无量纲化后，对简化后的线性化方程采用正态模扰动法，假设解为平面波形式，代入后得到波数(κ)和波频率(ω)之间的色散关系。稳定性要求频率的实部Re(ω) ≤ 0，即存在空间扰动时主要变量的局部振幅随时间衰减。求解色散关系得到的五个根均满足此条件，且对于任何Knudsen数均为负值。结果表明，所提出的SO13矩方程对于小空间扰动是无条件稳定的，从而避免了困扰Burnett和其他HOT方程的Bobylev不稳定性。

5. 与Onsager对称原理的一致性

遵循Romero & Velasco (1995)的程序，将扰动的场变量用相应流体力学场中的热力学力表示。将扰动场变量和闭合关系代入(3.1)-(3.5)后进行线性化，并用热力学力替换扰动量，最终将方程改写为紧凑形式(5.12)。OSP要求现象学系数矩阵L的厄米共轭L^?满足L^? = D L D，其中D是一个对角矩阵，其元素D_ii = ?1取决于主要变量在时间反演下的奇偶宇称。计算证明，对于给定的矩阵L，其厄米共轭确实满足L^? = D L D，从而证明了所提出的模型符合OSP。

6. 与热力学第二定律的一致性

从Struchtrup & Torrilhon (2007)出发，基于Grad矩方法的Maxwell分子输运方程的体熵生成率表达式包含来自闭合表达式中附加项的贡献。通过将线性化的闭合关系代入并执行代数运算，得到了简化后的熵生成率表达式。由于交叉耦合项在线性化 governing equations 的限制下不存在，且最后两项具有相同的符号和不同的系数，确保了熵生成率在所有条件下保持非负，从而表明所提出方程的线性形式符合热力学第二定律。

7. 泊肃叶流

本章通过半线性化方法解析求解了外力驱动的二维可压缩平面泊肃叶流问题，以验证SO13方程。该问题是验证高阶方程的经典基准问题，在稀薄条件下会表现出平衡态理论无法预测的现象，如无温度梯度下的流向热流、非均匀压力分布和中心特征温度凹陷等。

7.1. 泊肃叶流的解析解

对问题进行了简化假设：稳态流动，所有主要变量仅依赖于流动法向方向，粘度恒定，横向速度为零。引入无量纲变量后，简化控制方程，并保留线性项和关键非线性项（如粘性加热项及其组合）。通过积分和求解耦合方程，最终得到了所有场变量的完整解析解，包括速度、热流、应力、压力和温度。解中包含由Knudsen层引起的双曲函数项，这些是捕捉稀化效应的关键。

7.2. 验证

将SO13方程的简化形式解析解(7.13)与N-S、G13、R13方程以及Zheng等人(2002, 2003)报告的DSMC数据进行对比。由于缺乏高阶方程的精确边界条件，采用了Uribe & Garcia (1999)建议的方法，利用DSMC模拟数据在壁面处评估积分常数，从而获得所有变量的完整解。对比结果显示，对于剪切应力(σ?₂₁)、流向速度(u?₁)和横向热流(q?₂)，所有方程的结果与DSMC数据基本一致且难以区分。对于流向热流(q?₁)，SO13和R13方程的结果重叠，且与DSMC数据吻合良好，其分布在体区为负值，在壁面附近变为正值，表明在体区切向热流与流动方向相反。

对于法向应力(σ?₂₂)、压力(p?)、温度(T?)和密度(ρ?)的对比表明，SO13方程能更好地捕捉法向应力的变化。N-S方程给出零应力，G13方程未能捕捉双峰 profile。SO13方程准确地捕捉了微通道内的非均匀压力分布，而N-S方程预测的是恒定压力 profile。温度结果尤其有趣，DSMC模拟显示中心存在特征性的温度凹陷。N-S方程未能捕捉这一凹陷，而SO13方程的结果与DSMC数据的吻合度优于G13和R13方程。密度的对比也显示SO13方程与DSMC数据紧密匹配。

22),(b) pressure (p?),(c) temperature (T?) and (d) density(ρ?). The solution is also compared with the corresponding results from the N-S, G13 and R13 equations and the DSMC data(reported by Zheng et al. 2002, 2003) for Kn=0.072 and G=0.2355.'>

8. 讨论

本研究利用二阶OSP一致分布函数推导了Grad矩方法SO13方程的闭合关系。与G13方程相比，这些闭合关系包含了多个额外的Knudsen数三阶线性和非线性项，使SO13方程与super-Burnett方程同级。附加项的引入确保了SO13方程在更宽Knudsen数范围内的适用性，并能更准确地捕捉稀薄现象，特别是边界附近的Knudsen层。线性稳定性分析证实了方程在空间域是无条件稳定的，符合热力学第二定律的证明则解决了Burnett方程中附加项可能带来的不一致性问题。虽然选择Maxwell分子简化了推导，但该框架可通过修改输运系数适应更真实的分子间势。

一个值得注意的发现是，尽管是二阶精度，G13方程却出人意料地定性捕捉了微通道中心的温度凹陷（一个三阶效应），这是此前文献未报道的。然而，SO13方程凭借其附加的双曲项，提供了定量上更优越的预测，与DSMC数据高度一致。SO13方程的解自然遵循压力变化，增强了对其他稀薄气体问题的应用信心。

SO13方程中包含的涉及热流(q_i)的附加线性和非线性项，使其可应用于声子流体动力学，这对于半导体行业的热管理至关重要。这种新颖的方法统一了稀薄气体动力学和声子流体动力学，表明单一方程集可服务于这两种应用。该方法的关键优势在于，与其他声子流体动力学模型不同，它不依赖任何自由参数。

9. 结论

本研究推导了用于稀薄气体动力学的广义三阶SO13方程，该方程线性稳定、符合OSP和热力学第二定律。方程包含了G13方程中不存在的高阶线性和非线性项，使其能够准确捕捉Knudsen层等非平衡现象。通过解析求解力驱动泊肃叶流问题并将结果与DSMC数据对比，评估了模型的性能。结果表明，二阶G13方程令人惊讶地定性捕捉了微通道中心的温度凹陷（一个三阶效应）。然而，提出的SO13方程在捕捉关键稀薄现象（包括非均匀压力分布、中心温度凹陷和切向热流）方面，定性