环形口模挤出中瞬态型坯形成与挤出物胀大的三维数值模拟：口模芯开启位置与垂 sag 对型坯成型的影响机制研究

本文开发了一种高效的拉格朗日有限元法，结合新型重网格策略，成功模拟了牛顿流体和黏弹性流体从锥形环形口模挤出过程中的瞬态型坯形成和挤出物胀大现象。研究重点分析了口模芯开启位置（stroke）、口模几何结构及重力引起的垂 sag 效应对外径、内径及厚度胀大因子（Sdo、Sdi、St）的影响。通过毛细管环形流变仪口模和工业发散环形口模的验证，数值结果与实验数据高度吻合，表明该方法能准确预测挤出过程中的自由表面变形，为工业口模设计与优化提供了关键理论依据和仿真工具。

　　

计算建模

问题描述与基本方程

研究聚焦于通过锥形环形口模的聚合物挤出过程，该过程涉及复杂的瞬态三维自由表面流动。流体在口模内流动后形成自由表面，型坯在此期间经历胀大和垂 sag。图1展示了发散环形口模的关键几何参数，包括口模芯开启位置（s）、芯棒角度（θ_m）和套筒角度（θ_b）等。

挤出物胀大通过外径胀大因子（S_do）、内径胀大因子（S_di）和厚度胀大因子（S_t）量化。其中，S_do = R_o/R_b，S_di = R_i/R_c，S_t = (R_o - R_i)/(R_b - R_c)。R_c为口模出口处的芯棒半径，定义为R_c = R_m + s tan(θ_m)。

聚合物挤出流动 characterized by 低雷诺数（Re << 1），因此采用忽略惯性项的斯托克斯流动方程。控制方程包括动量方程和连续性方程：

? · σ = 0

? · u = 0

其中σ为总应力张量，u为速度矢量。

本构模型采用多模式Phan-Thien-Tanner（mPTT）模型，应力张量分解为溶剂贡献和聚合物贡献。聚合物应力由多个模式叠加而成，每个模式的应力张量满足特定的输运方程。引入了构象张量的对数形式（log-conformation representation）以增强数值稳定性，避免高变形速率下的数值崩溃。

自由表面变形与网格更新

采用拉格朗日框架下的高效网格更新技术跟踪自由表面变形。计算域采用混合方法：口模区域为欧拉描述，口模 land 区域为任意拉格朗日-欧拉（ALE）描述，型坯区域为纯拉格朗日描述。当口模出口附近型坯侧单元层在挤出方向发生显著变形时，通过分割该层单元实现重网格化，利用口模 land 区域的相邻单元层进行划分，确保整个挤出过程中网格宽度均匀。该方法避免了传统拉格朗日方法中频繁的昂贵重网格化，保持了网格质量和数值稳定性。

边界条件包括口模入口处的充分发展速度分布（或塞状流动）、口模壁面的无滑移条件以及自由表面的零应力条件。初始条件假设 viscoelastic extra-stress tensor 为零。

时空离散与求解流程

空间离散采用四面体有限元，时间积分采用隐式欧拉法。动量方程和连续性方程的求解采用稳定的离散弹性粘性应力分裂（DEVSS）方法，引入变形速率张量D作为附加未知量以提高稳定性。本构方程的积分采用流线迎风彼得罗夫-伽辽金（SUPG）技术。

求解过程采用解耦迭代策略：先求解动量和连续性方程（将黏弹性应力作为已知体积力），再积分本构方程。使用定点迭代耦合两个子问题，确保系统的一致性和稳定性。收敛后，根据材料速度更新型坯变形（纯拉格朗日描述），并位移口模 land 区域的单元层以保持均匀间距（ALE描述），然后进入下一时间步。

该方法在加拿大国家研究委员会（NRC）的有限元软件框架dFEMwork中实现，利用ParMETIS进行并行域分解，采用预条件的共轭梯度法（ILU(0)预处理）求解代数系统。模拟在64处理器（2.67 GHz）的UNIX集群上完成。

数值模拟结果与讨论

挤出物胀大预测的数值验证

牛顿流体通过发散环形口模的瞬态挤出物胀大

为验证拉格朗日方法，首先模拟了Mitsoulis研究的毛细管环形流变仪口模的胀大问题。几何参数为：套筒角度θ_b = 45°，芯棒角度θ_m = 20°，口模 land 长度L_d = 10 mm，套筒半径R_b = 12.7 mm，芯棒半径R_m = 6.35 mm，口模芯开启位置s = 0 mm（芯棒与套筒底部对齐）。流量Q = 0.095 cm³/s，牛顿流体粘度η = 18,700 Pa·s（HDPE树脂在170°C的零剪切粘度）。

模拟结果显示，挤出初期型坯形状复杂，经过过渡期后（约t = 0.2 s），流动逐渐达到准稳态，型坯变形趋于均匀。准稳态胀大在t ≈ 0.5 s时达到。预测的外径胀大因子S_do为1.26–1.31，内径胀大因子S_di为1.32–1.38，厚度胀大因子S_t为1.057–1.063，与Mitsoulis的结果（S_do = 1.297, S_di = 1.378, S_t = 1.056）吻合良好。挤出体积误差小于1%。

黏弹性流体通过发散环形口模的瞬态挤出物胀大

采用相同的口模几何，材料为Orbey和Dealy研究的高密度聚乙烯（HDPE），170°C下的松弛谱见表1，用mPTT模型拟合剪切粘度（图4A）。密度ρ = 745 kg/m³。研究了三种流量：Q₁ = 0.024 cm³/s (Wi = 0.24), Q₂ = 0.095 cm³/s (Wi = 0.95), Q₃ = 0.238 cm³/s (Wi = 2.38)。

在Q₁下，准稳态在t ≈ 0.5 s达到，S_do ≈ 1.15, S_t ≈ 1.50；Q₂下，t ≈ 0.5 s, S_do ≈ 1.19, S_t ≈ 1.58；Q₃下，t ≈ 0.5 s, S_do ≈ 1.19, S_t ≈ 1.80。结果与Orbey和Dealy的实验数据（Q₁: S_do=1.10–1.19, S_t=1.49–1.51；Q₂: S_do=1.17–1.23, S_t=1.58–1.64；Q₃: S_do=1.21–1.27, S_t=1.75–1.80）高度一致。这是首次通过数值模拟成功复现Orbey和Dealy的实验结果。

黏弹性流体由于弹性恢复和记忆效应，表现出比牛顿流体更显著的胀大。图5展示了Q₃下的瞬态型坯形成过程，初期存在过渡阶段，随后流动趋于准稳态，型坯形状变得均匀。

大直径发散环形口模的瞬态挤出物胀大

口模芯开启位置（stroke）对挤出物胀大的影响

研究了大直径发散环形口模的胀大问题，几何参数：θ_b = 45°, θ_m = 20°, L_d = 10 mm, R_b = 50 mm, R_m = 25 mm，口模芯开启位置s范围0–10 mm。流量Q = 0.095 cm³/s，牛顿流体粘度η = 18,700 Pa·s。

结果表明，当s > 0.5 mm时，型坯出现直径减小现象，且减小程度随s增加而增大，在s ≈ 5 mm时达到最大减小率约30%。厚度胀大则随s增加而增加，在s ≈ 5 mm时饱和，最大S_t约1.76。图6展示了准稳态胀大因子随s的变化曲线。

图7展示了s = 5 mm下的瞬态型坯形成过程，初期存在过渡阶段，t ≈ 0.5 s时达到准稳态。准稳态下S_di ≈ 0.70, S_do ≈ 0.75, S_t ≈ 1.76。图8比较了不同s下的型坯形状：s = 0 mm时S_do ≈ 1.30；s = 2.5 mm时S_do ≈ 1.10；s = 10 mm时S_do ≈ 0.75（直径收缩）。数值结果明确表明口模芯开启位置对胀大行为有显著影响，不可忽略。

环形挤出物胀大模拟：垂 sag 效应

研究了重力引起的垂 sag 效应。几何参数同前，s = 5 mm, Q = 0.095 cm³/s，牛顿流体η = 18,700 Pa·s，ρ = 745 kg/m³。

图9显示，重力作用下型坯中部直径减小，最终长度显著增加（无重力时L ≈ 1030 mm，有重力时L ≈ 1910 mm，增加85%）。图10表明，内径胀大因子在型坯中部达到最小值（S_di ≈ 0.65），外径和厚度也在此处最小。挤出时间与型坯长度的关系呈非线性，t > 0.5 s后重力效应显著，长度呈指数增长。

黏弹性流体通过大直径发散环形口模的瞬态挤出物胀大：口模芯开启位置的影响

研究了黏弹性流体在大直径发散环形口模中的胀大，几何参数同前，材料为HDPE（参数见表1）。首先在Q = 0.095 cm³/s下模拟。

图11显示，s = 5 mm时，型坯向中心轴内变形，导致直径减小。准稳态下S_do ≈ 0.97, S_di ≈ 0.93, S_t ≈ 1.10。与牛顿流体（S_do ≈ 0.75, S_di ≈ 0.70, S_t ≈ 1.76）相比，直径减小程度更轻。

进一步研究了临界流量附近的胀大行为（Q = 0.024 cm³/s和Q = 0.238 cm³/s）。图12表明，在Q = 0.024 cm³/s时S_do ≈ 1.00（胀大可忽略），超过该流量后开始出现直径胀大。这种延迟的胀大 onset 完全归因于芯棒与套筒底部的轴向偏移。在Q = 0.238 cm³/s时，S_do ≈ 1.05, S_di ≈ 1.02, S_t ≈ 1.12。

当芯棒与套筒存在偏移且超过临界值时，牛顿流体表现为直径减小，而黏弹性流体仅在流量超过特定阈值时才发生直径胀大。数值模拟是指导口模设计与优化的关键工具。

结论

本研究成功开发并应用了一种高效的拉格朗日方法，结合简单的重网格技术，模拟了挤出过程中的瞬态型坯形成和挤出物胀大。重网格算法通过分割口模出口附近型坯侧的高度变形单元层，利用口模 land 区域的相邻单元层进行划分，保持了网格连通性和单元/节点编号，显著优于需要频繁重网格的传统拉格朗日方法。

数值预测与毛细管环形流变仪口模的实验数据在不同流量下均吻合良好。工业发散环形口模的模拟结果显示，口模芯开启位置（s = 1–10 mm）对型坯直径和变形有强烈影响：牛顿流体直径减小达30%，黏弹性流体减小约3%。若分析仅限于s = 0或忽略芯棒与套筒的偏移（常见于许多研究），则无法捕捉此行为。该偏移在真实挤出过程中作用不可忽视，应纳入数值模型以提高预测精度。

重力引起的垂 sag 效应进一步加剧了型坯直径的减小。拉格朗日框架能够连续跟踪瞬态型坯形成，预测挤出时间与型坯长度和变形的演化关系。