数值自举法作为可积系统探测器：形状不变性下的精确能量本征值求解

《Progress of Theoretical and Experimental Physics》：Bootstrapping shape invariance: Numerical bootstrap as a detector of solvable systems

本文针对量子力学中判断系统可积性的难题，提出利用数值自举方法作为探测工具。研究通过分析具有形状不变性的系统（如谐振子、Morse势等），证明该方法可精确推导能量本征值，并自然获得湮灭算符信息。结果表明，自举法不仅能判定形状不变系统的可积性，还揭示了可积性的内在机制，为量子系统可积性研究提供了新范式。

　　

在量子力学研究中，判断一个系统是否可积一直是核心难题。可积系统能够精确求解能量本征值，但传统数值方法如蒙特卡洛模拟难以获得精确解，更无法判断系统的可积性。近年来，数值自举方法在共形场论中取得突破，该方法通过物理量的正定性约束来推导允许值范围，能够获得物理量的精确上下界。那么，这种方法能否应用于量子力学，成为探测可积系统的有力工具呢？

《Progress of Theoretical and Experimental Physics》发表的研究给出了肯定答案。研究人员发现，数值自举法在谐振子、P?schl-Teller势等可积系统中能够再现精确解，而在非可积系统中只能获得有限的允许区域。这一现象提示自举法可能作为可积系统的探测器。为了验证这一猜想，研究团队将目光投向了形状不变性这一可积性的充分条件。

形状不变性是一类重要的可积系统特征，许多知名可积系统如谐振子、Morse势、Coulomb势等都满足这一条件。研究表明，如果系统具有形状不变性，那么通过构造合适的自举矩阵，数值自举法能够精确推导出能量本征值。更重要的是，该方法还能自然获得湮灭算符的信息，从而揭示系统可积的内在机制。

研究团队采用了多种关键技术方法开展此项研究。他们主要运用数值自举方法的核心技术，通过构建自举矩阵并施加正定半定约束来分析系统特性。在线性规划方面，使用Mathematica软件的"SemidefiniteOptimization"包和MOSEK求解器进行数值计算。在特征多项式分析中，利用代数方程求解功能精确确定允许区域的边界。研究对象包括多种形状不变势场系统，通过系统性地增加自举矩阵的尺寸来研究收敛特性。

可积与非可积系统的自举法对比分析

研究人员首先对比了谐振子（可积）和非谐振子（不可积）的自举法结果。他们构建了基于算符{x^mpⁿ}的自举矩阵，发现谐振子系统中即使在小矩阵尺寸下也能获得精确的允许点（能量本征值），且这些点是刚性边界，不随矩阵尺寸增大而改变。而非谐振子只能获得逐渐缩小的孤立允许区域，无法得到精确解。这一鲜明对比揭示了自举法在可积系统检测中的潜力。

形状不变系统的自举法理论框架

研究团队建立了形状不变系统自举法的理论基础。他们证明，对于满足形状不变性的系统，如果构造基于湮灭算符??_n的自举矩阵，其对角元素满足??_nn= (E-E_n-2)(E-E_n-3)?E ≥ 0的条件，从而直接导出能量本征值E = E_n。即使不使用已知的湮灭算符，只要自举矩阵包含足够多样的算符，该方法仍能精确求解。

刚性边界与湮灭算符的自动推导

一个关键发现是，在可积系统中，自举法产生的刚性边界与系统的湮灭算符密切相关。在边界点处，自举矩阵存在零特征值，对应的算符???恰好是湮灭算符。以谐振子为例，在E = 1/2处，自举法自动推导出湮灭算符a = (x + ip)/√2，揭示了系统可积的深层原因。

Morse势的精确求解验证

研究人员将自举法应用于Morse势这一典型的形状不变系统。他们构建了基于{e^mxpⁿ}算符的自举矩阵，通过线性规划和特征多项式分析，精确再现了Morse势的束缚态能级和连续谱。

Rosen-Morse势与双曲Scarf势的扩展验证

研究还扩展到Rosen-Morse势和双曲Scarf势等形状不变系统。通过构建基于双曲函数的算符集合，自举法成功再现了这些系统的精确能谱，进一步验证了方法的普适性。特别是在双曲Scarf势中，虽然部分观测量未能收敛到点状区域，但能量本征值仍能精确获得。

Krein-Adler变换系统的可积性探测

研究还探讨了自举法在非形状不变但可积系统中的应用。通过分析经Krein-Adler变换生成的系统，发现即使原系统不再满足形状不变性，自举法仍能精确求解能量本征值，扩展了方法的适用范围。

本研究的重要意义在于确立了数值自举法作为可积系统探测器的地位。该方法不仅能够判断形状不变系统的可积性，还能自动推导湮灭算符，揭示可积机制。相比传统数值方法，自举法具有获得精确解的能力，为量子力学可积性研究提供了新范式。未来这一方法有望扩展到多体系统和场论研究中，为理解更复杂物理系统的可积性开辟新途径。