Hartshorne上同调复形余有限性问题的维数约化与谱序列破解

本文针对Hartshorne在1970年提出的复形余有限性问题，研究了在维数d≤2或d≥3情况下，复形X的??-余有限性与其同调模Hi(X)余有限性的等价关系。通过谱序列技术，作者在dim R=d、dim R/??=d-1或ara(??)=d-1条件下，给出了完整的判定准则，解决了交换代数中长期悬置的难题，对局部上同调理论的发展具有重要推动意义。

　　

在代数几何与交换代数领域，Hartshorne于1970年提出的余有限性问题是困扰学者半个多世纪的重要难题。该问题涉及局部上同调模的有限性性质，特别是关于理想??的余有限复形（cofinite complex）与其同调模的余有限性之间的内在联系。Grothendieck在1961-2年的代数几何研讨班中创立了局部上同调理论，并提出了若干关于局部上同调模有限性性质的猜想。Hartshorne通过反例证明这些猜想并不普遍成立，进而定义了??-余有限模的概念，并提出了三个关键问题：局部上同调模是否总是余有限？余有限模范畴是否为阿贝尔子范畴？复形的余有限性是否等价于其各阶同调模的余有限性？尽管Hartshorne本人在某些特殊情况下给出了肯定答案，但一般情况下的解答始终悬而未决。

本文针对第三个问题——即复形的余有限性判断问题——展开了深入研究。研究者通过精巧的谱序列技术，在不同维数约束下建立了复形余有限性的判定准则。特别地，当维数d≤2时，证明了有上界复形X∈D_?(R)的??-余有限性完全由各同调模H_i(X)的余有限性决定；当R是正则局部环且??是完美理想时，这一等价关系甚至对无界复形X∈D(R)也成立；而对于d≥3的情形，研究者发现了额外的有限生成条件（Ext_R^j(R/??, H_i(X))对j≤d-2有限生成）与同调模余有限性之间的深刻联系。

研究采用了多种先进的理论工具和方法。首先运用了谱序列技术（spectral sequence），特别是Lemma 1.1和1.2中的第三象限和第一象限谱序列，这些谱序列源于局部上同调与导出函子RHom_R(R/??, -)的相互作用。通过Lemma 1.3和1.4中的Serre子范畴论证，研究者建立了从复层次有限性到模层次有限性的传递机制。此外，研究还利用了最小半内射分解（minimal semi-injective resolution）、局部同调（local homology）和完备化函子LΛ^??等技术手段。在处理特殊环结构时，借鉴了Cohen-Macaulay环、完美模（perfect module）和算术秩（arithmetic rank）等概念的综合应用。

主要研究结果

Theorem 2.1 在dim R/??≤1、ara(??)≤1、dim R≤2等七种不同条件下，证明了有上界复形X的??-余有限性与其各阶同调模余有限性的等价关系。证明通过归纳法和谱序列的逐项分析完成，揭示了低维情况下有限性判断的内在简化机制。

Lemma 2.2 当投射维数pd_R R/??≤1时，建立了有下界复形X∈D_?(R)的余有限性判据，证明其等价于Tor_j^R(R/??, X)的有限生成性，并通过Künneth短正合序列建立了同调模与复形层面的对应关系。

Theorem 2.3 在四种更广泛的条件下（包括pd_R R/??≤1、??由非零除子生成、正则局部环等），将等价关系推广到无界复形范畴D(R)。证明通过分解复形为有上界和有下界部分，并利用导出函子的长正合序列进行过渡，其中特别运用了极小内射分解和Artinian模的性质。

Corollary 2.4 针对正则局部环情形，结合完美理想和算术秩条件，给出了无界复形余有限性的完整判据，统一并扩展了前人的结果。

Theorem 2.7 对d≥3的高维情形，发现了Ext_R^j(R/??, H_i(X))在j≤d-2时的有限生成性这一关键条件，证明通过谱序列的精细分析和维数归纳法完成，揭示了高维情况下有限性判断的额外复杂性。

Proposition 2.8 建立了余有限模组成的复形其同调模余有限性的判据，通过分析边缘映射的余核（cokernel）的Ext模有限性，揭示了复形结构对有限性传递的影响机制。

研究结论与意义

本研究彻底解决了Hartshorne余有限性问题的第三个方面，在不同维数范围和环结构下建立了复形余有限性与同调模余有限性之间的精确等价关系。在低维情况（d≤2）下，证明了这一等价关系无条件成立；在高维情况（d≥3）下，发现了必须附加的有限生成条件Ext_R^j(R/??, H_i(X))对j≤d-2成立。这一结果不仅完善了局部上同调理论体系，而且对Huneke提出的关联素和Bass数有限性问题提供了新的解决路径。

研究的理论意义在于：第一，将谱序列技术成功应用于余有限性问题的研究，发展了新的同调代数方法；第二，建立了从复形层次到模层次的有限性传递准则，沟通了不同层次的有限性概念；第三，在不同维数情况下发现了截然不同的有限性行为，揭示了维数在余有限性判断中的关键作用。实践意义上，这些结果为计算代数几何和交换代数中的局部上同调模提供了实用判据，特别是在处理完美理想和正则局部环等常见代数结构时具有直接应用价值。

论文发表在《Canadian Mathematical Bulletin》，体现了该研究在数学领域的学术认可度。作者杨晓燕来自浙江科技学院，研究工作得到了国家自然科学基金（12571035）的资助，标志着中国学者在这一经典难题上取得了突破性进展。