泊松-詹森复合混合零膨胀分布：一种新型离散模型及其在过离散计数数据分析中的应用

《Journal of Renewable Materials》：A new statistical framework for overdispersed count data: Applications in public health, radiation dosimetry and finance

本文针对传统离散分布在处理过离散、零膨胀数据时的局限性，提出了一种新的泊松-詹森复合混合零膨胀（PJCHZ）分布。研究人员通过混合泊松分布与詹森分布，并引入零膨胀机制，构建了该模型。研究推导了其概率质量函数、累积分布函数、危险率函数等关键统计特性，并证明了其具有过离散性。该模型为分析具有大量零值和长尾特征的计数数据（如医疗就诊次数、保险索赔次数等）提供了更灵活、更有效的工具，对生物医学、保险精算等领域的数据建模具有重要意义。

　　

在生物医学研究、流行病学、保险精算等诸多领域，研究人员常常需要处理计数数据。这类数据记录了特定事件发生的次数，例如，患者一年内的住院次数、一个社区中某种传染病的发病案例数，或者一个保单组合中的索赔次数。理想情况下，经典的泊松分布常被用作分析这类数据的起点，它假设事件的均值等于方差。然而，现实世界的数据往往更加复杂，一个普遍且棘手的现象是“过离散”——即数据的方差显著大于均值，这表明事件的发生并非完全随机，可能存在聚集性或个体异质性。更复杂的是，数据中常常存在大量的零值，远多于标准泊松分布所能解释的范围，这就是“零膨胀”现象。例如，在健康调查中，很大一部分健康人群全年可能没有任何医疗就诊记录（导致零值堆积），而少数慢性病患者则会有多次就诊记录（导致长尾分布）。传统的泊松模型或负二项模型在处理这种复杂的零膨胀且过离散的数据时，常常显得力不从心，可能导致有偏的估计和不准确的推论。因此，开发能够同时捕捉数据中零膨胀和过离散特征的灵活分布模型，已成为统计学和应用科学研究中的一个重要课题。

为了应对这一挑战，发表在《Journal of Renewable Materials》上的这项研究，引入了一种新颖的离散概率分布模型——泊松-詹森复合混合零膨胀（PJCHZ）分布。该研究通过将泊松分布与詹森分布进行复合，并巧妙地引入混合机制来容纳零膨胀结构，从而构建了一个全新的理论框架。研究人员系统地推导了该分布的一系列核心统计性质，包括其概率质量函数（PMF）、累积分布函数（CDF）、生存函数（SF）、危险率函数（HRF）以及矩生成函数（MGF）等。理论分析证明，PJCHZ分布天生具有过离散的特性，即其方差始终大于均值，这使其特别适合拟合现实世界中常见的过度分散数据。研究表明，通过调整其单一参数η，该模型能够灵活地呈现不同的形态，包括高度的零概率和长右尾，从而能够更好地拟合具有大量零值和罕见高值事件的复杂数据集。

本研究主要基于理论概率论的推导与模型构建。研究人员采用混合分布的方法，将泊松分布作为基础分布，与一个特定的詹森分布进行复合，并通过一个加权函数（其分母为η³+ η²+ 6）来构建最终的PJCHZ模型。研究过程未涉及具体的实验数据队列或复杂的计算模拟，而是专注于通过解析方法（如积分变换、级数求和等）来推导模型的各种统计特性、矩和生成函数，并严格证明了其过离散性和可识别性。

概率质量函数与分布特性

研究人员成功推导出PJCHZ分布的概率质量函数，其表达式为P(Y=y|η) = [η⁴(1 + ρ + ρ³)e^-ηρ] / [(η³+η²+6) y!] （其中ρ为泊松分布的参数，通过积分混合后消除）。通过可视化分析发现，当参数η较小时，分布具有极高的零点概率和漫长的右尾；随着η增大，概率质量会从零点向更大的计数值转移，分布的形态也随之改变。这表明PJCHZ模型能够通过调节一个参数来灵活控制数据的零膨胀程度和离散程度。

累积分布函数与生存分析

基于概率质量函数，研究进一步给出了模型的累积分布函数和生存函数的精确表达式。生存函数描述了观测值超过某个特定数值的概率，是可靠性工程和生存分析中的关键工具。分析显示，PJCHZ模型的生存函数随着y值的增加而平滑递减，其形态依赖于参数η的取值。

危险率函数与模型适用性

危险率函数（或称故障率函数）是另一个重要特征，它描述了在某个时间点或计数值上事件发生的瞬时风险。本研究计算了PJCHZ模型的危险率函数和反危险率函数。结果表明，该模型的危险率函数是递增的，而反危险率函数是递减的。这种递增的危险率特性意味着该模型适用于描述“老化”或“损耗”过程，即随着“年龄”y（或事件计数）的增加，发生下一次事件的风险会逐渐升高。这为将其应用于设备故障、疾病复发等场景提供了理论依据。

数字特征与过离散性验证

为了全面刻画分布，研究详细推导了模型的阶乘矩、普通矩（如均值、方差）、偏度和峰度等数字特征。最关键的是，通过比较均值E(Y)和方差Var(Y)的表达式，研究从数学上严格证明了PJCHZ分布方差始终大于其均值，这一性质明确无误地确认了其过离散的本质。此外，计算的偏度和峰度表明该分布是正偏态（右偏）且是尖峰厚尾的（Leptokurtic），这进一步印证了其处理具有异常值和长尾特征数据的能力。

生成函数与模型识别

研究还给出了模型的概率生成函数（PGF）和矩生成函数（MGF），这些函数在理论推导、随机模拟和参数估计中具有重要作用。最后，研究证明了PJCHZ模型是可识别的，即不同的参数值η会对应不同的概率分布，这确保了在利用数据对模型参数进行估计时，结果的唯一性和可靠性。

综上所述，本研究成功构建并深入探讨了一种名为泊松-詹森复合混合零膨胀（PJCHZ）的新型离散概率分布。该模型的核心优势在于其内在的过离散特性以及通过单一参数即可灵活调控零概率和分布形态的能力。理论推导全面覆盖了其概率函数、可靠性指标和数字特征，证明了其在处理零膨胀、右偏、厚尾的计数数据方面的巨大潜力。PJCHZ分布为分析复杂现实数据（如医疗保险索赔、传染病发病数、工业生产中的缺陷计数等）提供了一个强有力的新工具。未来的研究方向可以包括开发该模型的参数估计方法（如最大似然估计、贝叶斯估计），将其扩展至回归建模框架以纳入协变量影响，并应用于实际数据集进行验证，与现有的如负二项分布、泊松-逆高斯分布等过离散模型进行性能比较，进一步巩固其应用价值。