一种无网格结构保持的拟插值方法，用于求解球面上的Allen-Cahn方程

《Mathematics and Computers in Simulation》：A meshless structure-preserving quasi-interpolation method for solving Allen-Cahn equations on spheres

提出基于标量辅助变量（SAV）框架的球面准插值方法，解决球面Allen-Cahn方程，通过无网格配位点离散和能量稳定时间积分，确保无条件能量稳定性，克服传统网格方法局限。

　　本文探讨了一种新颖的无网格结构保持方法，用于求解球面上的Allen-Cahn方程。Allen-Cahn方程是描述相变过程的重要模型，尤其在多组分合金系统的相分离过程中具有广泛应用。该方程的结构使其成为一种$ L^2 $梯度流，能够体现能量耗散的物理特性，即自由能随时间单调减少。然而，传统的网格方法在处理球面等复杂几何结构时存在一定的局限性，尤其是在高维空间和非规则分布的节点上。因此，本文提出了一种基于标量辅助变量（SAV）框架的无网格方法，结合了球面准插值技术，以提高数值求解的效率和稳定性。

SAV方法是一种近年来受到广泛关注的数值方法，其核心思想是通过引入一个辅助变量，将原本复杂的能量函数转化为二次形式。这种转化使得非线性部分与耗散部分得以分离，从而在每个时间步中可以使用线性求解方法，极大地简化了计算过程。此外，SAV方法的一个显著优势是它能够无条件地保持能量耗散特性，这意味着无论时间步长如何，数值解都能保证稳定性，这对于长期模拟尤为重要。

在本文中，作者采用了一种基于核函数的球面准插值方法，用于对球面上的散点数据进行空间离散化。这种方法具有较高的灵活性和适应性，可以适用于不同的核函数特性，如正性、凸性、单调性、无散度或无旋特性。准插值方法不需要求解大规模的线性系统，因此在实现上更为简便。通过引入适当的核函数和积分规则，作者构建了一个能够有效处理球面几何问题的无网格结构保持方案。

球面准插值方法的理论基础建立在球面谐波、缩放区域核函数以及球面积分规则之上。球面谐波是球面上函数展开的基础，它们构成了与Laplace-Beltrami算子对应的特征空间的正交基。Laplace-Beltrami算子是描述球面几何中拉普拉斯算子的推广形式，其特征值具有明确的数学表达式，且与球面的维度密切相关。通过这些数学工具，作者能够对球面上的函数进行有效的近似和离散化处理。

在空间离散化过程中，作者使用了一种适用于任意几何结构的准插值方法，该方法基于一般的积分规则，能够灵活地适应不同的核函数选择。这种灵活性使得准插值方法不仅适用于球面，还能够推广到其他光滑紧致流形上。此外，作者还通过理论分析验证了所提出的球面准插值SAV方法的适定性、能量稳定性以及误差估计，为该方法的数学严谨性提供了有力的支持。

数值实验部分展示了所提出方法在实际应用中的有效性。实验中，作者选择了高斯核函数作为准插值的基础，并验证了该方法在球面上对Allen-Cahn方程的求解能力。通过一系列数值测试，作者不仅验证了方法的收敛性，还展示了其在模拟球面相变过程中的准确性和鲁棒性。实验结果表明，该方法能够在保持物理特性的同时，有效处理球面几何带来的复杂性，从而为相关领域的研究提供了新的工具。

在实现方面，本文提出的无网格结构保持方案避免了传统网格方法中对规则网格的依赖，使得在不规则或复杂几何结构上的计算更加便捷。此外，由于准插值方法不需要求解大规模线性系统，因此在计算效率上具有明显优势。这种方法特别适用于高维空间中的计算问题，因为它能够在保持计算精度的同时，减少计算资源的消耗。

本文的研究成果对于多个科学领域具有重要的应用价值。例如，在大气科学和地球物理学中，球面几何常常用于描述全球范围内的物理现象；在图像处理和计算机图形学中，球面模型可以用于模拟曲面上的图像演化；在生物医学工程中，球面结构可以用于建模细胞膜或其他曲面结构的动态变化。因此，本文提出的方法不仅在理论上具有创新性，而且在实际应用中也展现出广泛的可能性。

此外，本文还探讨了球面准插值方法在不同核函数和积分规则下的适用性。通过引入更一般的积分规则，作者能够进一步扩展准插值方法的应用范围，使其能够更好地适应不同的物理模型和计算需求。这种方法的可扩展性为未来的研究提供了丰富的方向，例如在非线性系统和复杂几何结构上的应用。

在结构保持方面，本文提出的方案能够确保数值解在离散化过程中仍然保持物理特性的完整性。这一特性对于模拟相变过程尤为重要，因为相变过程中通常伴随着能量耗散和界面演化等复杂现象。通过保持能量耗散的特性，作者确保了数值解在长期模拟中的稳定性，从而避免了传统方法中可能出现的数值震荡或不稳定性问题。

总的来说，本文提出了一种基于球面准插值和SAV框架的无网格结构保持方法，用于求解球面上的Allen-Cahn方程。该方法在理论上具有坚实的数学基础，并在数值实验中表现出良好的收敛性和准确性。通过引入更一般的积分规则和灵活的核函数选择，作者进一步拓展了该方法的应用范围，使其能够适应多种复杂的物理和几何场景。这一研究不仅为球面几何上的数值模拟提供了新的思路，也为其他光滑紧致流形上的偏微分方程求解开辟了新的途径。