结合并行矩阵分解和群体平滑技术的张量轮完成算法在超光谱图像恢复中的应用

《Pattern Recognition》：Tensor Wheel Completion with Parallel Matrix Factorization and Group Smoothness for Hyperspectral Image Recovery

高光谱图像缺失像素恢复中，现有张量轮分解方法存在对分解阶数敏感且无法有效利用图像空间梯度域的小组平滑性缺陷。本文提出基于并行矩阵因子化与小组平滑性约束的张量轮补全方法（TWC-PMFGS），通过建立张量 unfolding 与环因子低秩关联，增强全局结构捕获能力；并利用图像梯度域的小组稀疏特性设计 ?2,1-范数约束，显著提升模型鲁棒性。实验表明，该方法在6种高光谱和7种多光谱图像上均优于基线，PSNR提升最高达3.65dB，且在10%采样率下仍保持优势。

　　在现代图像处理和数据分析领域，随着传感器技术和数据采集手段的不断进步，多维数据（如高光谱图像和多光谱图像）的应用日益广泛。这些数据不仅包含了丰富的空间信息，还蕴含了大量光谱特征，为环境监测、医学成像、军事侦察等关键领域提供了重要的支持。然而，在实际应用过程中，由于设备故障、传输损耗或存储限制等因素，数据中常常出现缺失像素的问题，这直接影响了后续任务的准确性。因此，如何有效地恢复这些缺失像素成为了一个重要的研究课题。

在众多恢复方法中，张量补全（Tensor Completion）因其能够处理多维数据的结构特性而备受关注。张量补全的核心思想是利用数据中隐含的低秩结构，从部分观测中推断出缺失的信息。对于高光谱图像（HSIs）而言，其具有三维结构（空间维度和光谱维度），这使得传统的二维图像处理方法难以充分捕捉其全局信息。为此，研究者们提出了多种张量分解方法，如CANDECOMP/PARAFAC（CP）分解、Tucker分解以及张量奇异值分解（t-SVD）等。这些方法在一定程度上提高了张量补全的效果，但它们在处理高光谱图像时仍存在一定的局限性。

例如，CP分解和Tucker分解通常将张量分解为多个因子，但它们忽略了因子之间的内在关联，导致在捕捉高光谱图像的全局结构方面效果有限。而t-SVD虽然在某些情况下表现良好，但其依赖于特定的变换方式，这需要对数据集的特性有深入的理解，且在实际应用中往往难以确定最优的变换参数。此外，一些基于张量网络（Tensor Network）的方法，如张量环（TR）分解和全连接张量网络（FCTN），虽然在某些方面取得了较好的效果，但它们在参数选择和结构建模上也面临挑战。TR分解虽然能够提供更强大的低秩表示能力，但其环状结构仅限于相邻因子之间的联系，难以有效表达非相邻因子之间的复杂关系。而FCTN虽然通过全连接的方式建立了所有因子之间的关系，但其参数数量随着张量阶数的增加而迅速增长，给模型的训练和优化带来了困难。

针对上述问题，研究者们提出了多种改进方法，其中一种常见的策略是引入因子正则化（Factor Regularization）。例如，通过在因子空间中施加低秩约束，可以增强模型的鲁棒性并提高补全效果。然而，现有的因子正则化方法在处理高光谱图像时仍存在不足，尤其是在捕捉数据中的组平滑性（Group Smoothness）方面。高光谱图像在梯度域中通常表现出一定的组稀疏性（Group Sparsity），即在图像的某些区域中，像素值的变化呈现出一定的规律性。这种结构特性对于图像恢复具有重要意义，因为它可以作为额外的先验信息，帮助模型更准确地重建缺失像素。

为了更好地利用高光谱图像的组平滑性，一些研究尝试在梯度因子上施加低秩约束。例如，通过在梯度域中引入稀疏性和低秩性，可以有效捕捉图像中局部和全局的平滑结构。然而，这些方法在处理高光谱图像时仍然存在一定的局限性，尤其是在如何有效地将低秩约束与组平滑性结合起来方面。因此，需要一种新的方法，能够同时利用张量分解的全局结构信息和高光谱图像的组平滑特性，以提高补全效果并增强模型的鲁棒性。

基于此，我们提出了一种新的张量轮补全方法，称为“基于并行矩阵分解和组平滑性的张量轮补全方法”（Tensor Wheel Completion with Parallel Matrix Factorization and Group Smoothness Prior，简称TWC-PMFGS）。该方法的核心思想是通过并行矩阵分解的方式，将张量轮分解中的所有环因子进行低秩约束，从而增强模型对高光谱图像全局信息的捕捉能力。同时，我们还引入了组平滑性正则化，以更好地利用高光谱图像在梯度域中的结构特性。这种方法不仅能够提高补全的准确性，还能够在低采样率的情况下保持良好的性能。

在具体实现上，我们首先对张量轮分解中的环因子进行了低秩矩阵分解。通过分析原始张量与其环因子之间的秩关系，我们发现这些因子的秩可以有效地限制原始张量的秩，从而为模型提供更强的约束条件。这种低秩矩阵分解不仅能够提高模型的鲁棒性，还能够减少计算复杂度，使模型在实际应用中更加高效。随后，我们观察到高光谱图像在梯度域中具有明显的组稀疏性，这意味着在图像中某些区域的像素值变化相对较小，而其他区域则变化较大。基于这一观察，我们提出了组平滑性正则化，通过在梯度因子上施加?2,1范数，进一步增强模型对高光谱图像结构特征的捕捉能力。

此外，为了提高模型的训练效率和稳定性，我们设计了一种高效的交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）算法来求解TWC-PMFGS模型。该算法能够在保证模型精度的同时，显著降低计算时间，使其适用于大规模的高光谱图像数据集。在实验部分，我们对六组高光谱图像和七组多光谱图像进行了广泛的测试，并在多个指标上验证了TWC-PMFGS的优越性。实验结果表明，与现有的张量补全方法相比，TWC-PMFGS在低采样率（如10%）的情况下，仍然能够实现较高的补全精度，甚至在某些情况下比现有方法高出3.65 dB。

TWC-PMFGS方法的主要贡献体现在以下几个方面。首先，我们通过并行矩阵分解的方式，将张量轮分解中的所有环因子进行低秩约束，从而增强模型对高光谱图像全局信息的捕捉能力。这一方法不仅提高了模型的鲁棒性，还使得模型在不同采样率下都能保持良好的性能。其次，我们观察到高光谱图像在梯度域中具有明显的组稀疏性，并通过理论分析证明了这一结构可以被张量轮分解中的因子所表达。基于此，我们在梯度因子上施加?2,1范数正则化，以更好地利用高光谱图像的组平滑特性。最后，我们设计了一种高效的ADMM算法来求解TWC-PMFGS模型，并在多个数据集上验证了其有效性。实验结果表明，TWC-PMFGS在视觉质量和量化指标上均优于现有的方法，尤其是在低采样率的情况下表现尤为突出。

在实际应用中，高光谱图像的补全问题具有重要的现实意义。例如，在遥感领域，高光谱图像常用于环境监测和资源调查，但由于数据传输和存储的限制，图像中常常存在缺失像素。通过有效的补全方法，可以提高图像的质量和可用性，从而支持更精确的分析和决策。此外，在医学成像领域，高光谱图像可以用于疾病的早期检测和诊断，但同样面临数据缺失的问题。TWC-PMFGS方法能够有效地恢复这些缺失像素，为医学图像分析提供更可靠的数据支持。

总的来说，TWC-PMFGS方法通过结合并行矩阵分解和组平滑性正则化，为高光谱图像的补全问题提供了一种新的解决方案。该方法不仅提高了补全的精度，还增强了模型对不同采样率的适应能力。在实际应用中，TWC-PMFGS能够有效地处理高光谱图像中的缺失像素问题，为相关领域的研究和应用提供了重要的技术支持。