核反应堆动力学中中子通量与先驱核浓度的精确解析解研究

《Frontiers in Physics》：Exploring the neutron diffusion system under reflector boundaries via an ansatz approach: time-dependent solution

本文针对核反应堆点动力学模型，通过分离变量法首次推导出中子通量φ(t)和先驱核浓度C(t)的精确解析解。作者建立了耦合偏微分方程组，引入边界条件，运用特征函数展开技术，成功获得了包含双曲函数的显式解。该研究突破了传统数值模拟的局限，为反应堆安全分析提供了重要的理论工具，尤其对瞬态超临界工况下的中子行为预测具有指导意义。

　　

核反应堆点动力学模型的数学框架

核反应堆点动力学模型是研究反应堆瞬态行为的重要数学工具，它通过耦合的偏微分方程组描述中子通量φ(x,t)和先驱核浓度C(x,t)的时空演化。该模型考虑了中子扩散、裂变产生、吸收损失以及先驱核的衰变与产生等物理过程。基本控制方程包含两个关键部分：中子通量的时间演化方程和先驱核浓度的平衡方程。

精确解析解的推导方法

研究团队采用分离变量法这一经典的数学物理方法求解该模型。首先假设解具有变量分离形式φ(x,t)=T(t)X(x)和C(x,t)=τ(t)X(x)，将其代入原偏微分方程组后，成功将偏微分方程转化为常微分方程组的求解问题。通过引入特征函数cos(γ_nx)展开，其中特征值γ_n=nπ/L，将空间变量与时间变量完全分离。

在边界条件处理方面，研究者应用了齐次诺伊曼边界条件，这对应于反应堆物理中常见的反射边界情况。初始条件设置为均匀分布φ(x,0)=φ₀和C(x,0)=ρφ₀，其中ρ=σ/λ表示先驱核产生与衰变的平衡关系。这种初始条件配置使得问题简化为只需求解时间相关部分T_n(t)和τ_n(t)的常微分方程组。

特征函数展开技术的应用

特征函数展开是解决此类问题的核心数学技术。研究者将解表示为无穷级数形式：φ(x,t)=∑_n=0^∞T_n(t)cos(γ_nx)和C(x,t)=∑_n=0^∞τ_n(t)cos(γ_nx)。通过正交性条件，将偏微分方程转化为关于系数T_n(t)和τ_n(t)的常微分方程组。

这一转化过程的关键在于利用余弦函数的正交性质，使得不同模式之间解耦。对于每个傅里叶模式n，都得到一个独立的常微分方程组。特别值得注意的是，当n=0时对应均匀模式，这一模式在点动力学中具有特殊重要性，因为它描述了反应堆整体功率水平的变化。

常微分方程组的求解过程

转化后的常微分方程组具有标准形式：T′_n(t)=aT_n(t)+bτ_n(t)和τ′_n(t)=cT_n(t)+dτ_n(t)，其中系数a、b、c、d包含了反应堆的物理参数。通过求解特征方程r²-(a+d)r-(bc-ad)=0，得到两个特征根r_1,2，进而构造出通解。

解的具体形式包含指数函数和双曲函数的组合，反映了中子群体动态的固有特性。指数部分决定了解的长期渐近行为，而双曲函数部分描述了瞬态过程。通过引入参数Γ₁=(a+d)/2和Γ₂=√[(a+d)²+4(bc-ad)]/2，解可以表示为更简洁的形式，便于物理意义的解释。

超临界工况下的数值分析

研究者选取了典型的反应堆参数进行数值验证：扩散系数D=0.96343，中子速度V=1.103497×10⁷cm/s，系统尺寸L=22.9 cm，有效裂变中子份额β=0.0045，先驱核衰变常数λ=0.08 s^-1。在超临界条件下，设定裂变截面νΣ_f=3.33029×10^-2cm^-1，吸收截面Σ_a=1.58430×10^-2cm^-1。

数值结果显示，在初始阶段(0≤t≤10^-5s)，中子通量呈现温和的指数增长，这反映了 prompt 中子和 delayed 中子的共同贡献。随着时间推移至10^-4s量级，中子通量呈现急剧的指数增长，达到10⁸n/(cm²·s)量级，明确表明系统进入了 prompt-supercritical 状态。这种增长行为符合点动力学理论预期，在无反馈机制的理想模型中，超临界系统确实会呈现无限增长趋势。

物理意义的深入阐释

解析解中各项具有明确的物理意义。指数因子e^Γ₁t决定了系统的稳定