Caputo型序贯耦合混杂系统的可解性与稳定性研究：基于不动点定理的理论与应用

本文推荐研究人员针对一类Caputo序贯耦合混杂系统（HFDEs），应用Banach压缩映射原理和Leray-Schauder替代定理，系统分析了其解的存在性、唯一性及Ulam-Hyers稳定性，为非线性分数阶耦合系统的理论分析与数值模拟提供了重要依据。

　　

在微分方程理论的研究中，非线性系统的扰动问题一直备受关注，尤其是混杂微分方程（HDEs）及其耦合形式。近年来，随着分数阶微积分理论的迅速发展，分数阶混杂微分方程（HFDEs）和耦合混杂系统逐渐成为研究热点。这类系统不仅具有深刻的数学理论基础，而且在工程、生物、物理等领域展现出广泛的应用前景。然而，对于涉及序贯Caputo分数阶导数的耦合混杂系统，其解的存在性、唯一性及稳定性的系统研究仍相对缺乏，这为理论分析和实际应用带来了挑战。

为了填补这一研究空白，Mohamed Houas、Abdul Hamid Ganie、Mohammad Esmael Samei和Tina Maniee在《Beni-Suef University Journal of Basic and Applied Sciences》上发表了一项研究，针对一类序贯Caputo耦合混杂系统，深入探讨了解的性质与稳定性。该研究通过应用Banach压缩映射原理和Leray-Schauder替代定理，建立了系统解的存在性与唯一性条件，并进一步分析了Ulam-Hyers和Ulam-Hyers-Rassias稳定性，为相关领域的理论发展和应用提供了坚实支撑。

研究人员主要采用了分数阶微积分中的Caputo导数定义和Riemann-Liouville分数阶积分算子，结合不动点定理（包括Banach压缩映射原理和Leray-Schauder替代定理），进行了系统的理论分析。通过构建合适的Banach空间和积分方程形式，将原系统转化为等价的算子方程，进而分析其解的存在性、唯一性及稳定性条件。

3.1 Existence results for sequential coupled system of HFDEs

通过定义Banach空间B₁ × B₂和算子Q，研究人员在假设（H1）和（H2）下，利用Banach压缩映射原理证明了系统（1）存在唯一解。具体地，他们推导出条件（8），确保算子Q是压缩的，从而保证了解的唯一性。

4 Stability analysis

通过定义Ulam-Hyers稳定性和Ulam-Hyers-Rassias稳定性，研究人员在定理4.3和定理4.4中证明了系统（1）的稳定性。他们通过构造适当的积分不等式和利用先前的存在性结果，展示了系统对于扰动具有鲁棒性，并给出了稳定的具体界限。

研究结论表明，在一定的Lipshitz条件和有界性假设下，序贯Caputo耦合混杂系统（1）不仅存在唯一解，而且具有Ulam-Hyers和Ulam-Hyers-Rassias稳定性。这一成果不仅扩展了分数阶微分方程的理论框架，还为实际应用中系统的可靠性与稳定性分析提供了重要工具。此外，通过数值算例的验证，研究人员进一步证实了理论结果的有效性和适用性，为后续研究奠定了坚实基础。