基于截断M分数阶导数的ZKBBM方程分岔分析与新型波型研究及其在非线性物理中的意义

本研究针对具有截断M分数阶导数（TMFD）的Zakharov-Kuznetsov-Benjamin-Bona-Mahony方程（ZKBBME），采用改进的exp函数法和exp(-Φ(ξ))-展开法，结合分岔理论，揭示了该方程在分数阶量子力学、等离子体离子声波和光纤信号处理等领域的复杂非线性波动力学，获得了包括compacton-kink和peakon波在内的新型精确解，丰富了ZKBBME的解空间，为分数阶非线性偏微分方程（FNLPDEs）控制的工程和应用物理模型提供了新的理论框架。

　　

在非线性物理和工程应用领域，描述波传播现象的数学模型一直是研究的热点。Zakharov-Kuznetsov-Benjamin-Bona-Mahony方程（ZKBBME）作为一个重要的数学工具，被广泛应用于分数阶量子力学、等离子体中的离子声波、重力驱动的水波、湍流和流体波动等多种现实世界现象。然而，传统的整数阶导数模型在描述具有记忆效应和遗传特性的系统时存在局限，无法捕捉到非局部相互作用和历史依赖性，这促使研究者将目光转向分数阶微积分（FC）。

分数阶导数通过引入非整数阶导数，能够同时考虑函数的局部变化率和历史行为，特别适用于粘弹性、反常扩散和生物工程等复杂动力系统。在众多分数阶导数定义中，截断M分数阶导数（TMFD）因其采用Mittag-Leffler型核和截断参数来控制记忆长度，近年来显示出良好的应用潜力。尽管ZKBBME在经典和某些分数阶设定下已被研究，但其在TMFD框架下的表述仍未充分探索，尤其是缺乏对分岔行为和平稳点的系统性分析。

本研究旨在填补这一空白，通过结合改进的exp函数法和exp(-Φ(ξ))-展开法，以及分岔理论，深入探究TMFD下的ZKBBME，揭示其丰富的波动力学和解结构。

研究人员采用了几项关键的技术方法：首先，利用截断M分数阶导数（TMFD）对ZKBBME进行建模，以捕捉记忆效应和非局部动力学；其次，应用改进的exp函数法和exp(-Φ(ξ))-展开法来推导精确解，这些方法能有效处理非线性项并提供封闭形式的解；第三，通过伽利略变换将方程转化为平面动力系统，并运用分岔理论分析平衡点和定性行为变化；最后，使用Mathematica软件求解代数方程组，并结合二维、三维、等高线、密度和极坐标图对解进行可视化展示，以验证解的物理性质。

解的结构与性质

通过改进的exp函数法和exp(-Φ(ξ))-展开法，研究人员获得了ZKBBME的多类精确解，包括有理函数、三角函数、双曲函数和指数函数形式的解。这些解展示了丰富的波型，如compacton-kink、peakon、反peakon、cuspon和奇异周期波等，其中一些波型在该模型的以往研究中尚未被报道。解的具体形式通过参数集的不同取值得到，并通过图形展示了其物理配置，例如combo-dark-bright孤子、钟形解、kink解和奇异钟形解等。

分岔分析

通过伽利略变换，将ZKBBME转化为平面动力系统，形式为：其中L₁ = b/(ac)和L₂ = (-1+a)/(ac)。通过求解系统平衡点，并分析雅可比矩阵的行列式，研究人员确定了平衡点的性质（中心、鞍点或尖点）。根据参数L₁和L₂的不同取值，系统呈现四种不同的相图行为：当L₁ < 0和L₂ < 0时，平衡点N₁=(0,0)为中心，N₂=(-1,0)为鞍点；当L₁ > 0和L₂ < 0时，N₁为中心，N₂=(1,0)为鞍点；当L₁ < 0和L₂ > 0时，N₁为鞍点，N₂=(1,0)为中心；当L₁ > 0和L₂ > 0时，N₁为鞍点，N₂=(-1,0)为中心。这些相图通过图示直观展示了系统的定性行为变化。

物理意义和讨论

本研究的结果表明，TMFD框架能够捕捉复杂的非线性波动力学，显著丰富了ZKBBME的解空间。新发现的波型如compacton-kink和peakon波在物理上对应着能量包络或相前沿，在相变材料界面、颗粒链中的应变波、铁磁域壁中的磁化突变、生物组织中的神经冲动和非线性光纤中的光脉冲等领域具有潜在应用。分岔分析进一步揭示了系统参数变化时定性行为的突然转变，为理解非线性系统的稳定性提供了深入见解。

此外，与以往研究相比，本研究不仅获得了更广泛的精确解类型，还通过分岔理论和相图分析增强了模型的动态行为描述。例如，Ilhan等人使用改进的Riemann-Liouville导数和简单方程法仅得到有限的三角和有理函数解，而Baskonus和Gao采用符合分数阶导数虽得到暗孤子和周期波，但缺乏孤子类型多样性和视觉解读。本研究通过TMFD和多种解析方法的结合，在解的种类和物理表征方面均取得了显著进展。

研究的局限性在于TMFD的物理通用性和可解释性可能不如Caputo或Atangana-Baleanu等分数阶算子，且解析方法依赖于参数设置，可能不适用于非自治或多维随机环境。未来工作可扩展至其他非线性分数阶偏微分方程（FNLPDEs），如Davey-Stewartson和Zakharov模型，并结合数值方法验证解析结果的实际适用性。

总之，本研究成功应用改进的exp函数法和exp(-Φ(ξ))-展开法，为TMFD下的ZKBBME推导出了一系列新颖的波解，并通过分岔分析揭示了系统的丰富动力学行为。这些发现推进了我们对分数阶非线性偏微分方程控制下波结构的理解，为相关工程和应用物理模型提供了有价值的理论工具。论文发表于《Scientific Reports》，为非线性动力学领域贡献了新的见解和方法。