基于Caputo分数阶导数的大豆蛙眼叶斑病感染模型稳定性与动力学分析及其真菌密度函数研究

本综述系统构建并验证了采用Caputo分数阶导数的大豆蛙眼叶斑病传播动力学模型。研究通过固定点理论证明了模型解的存在唯一性，利用Lyapunov函数分析了无病平衡点与地方病平衡点的全局稳定性，并采用两步拉格朗日多项式法进行数值模拟。结果表明分数阶模型能更精准捕捉病害记忆效应和历史依赖特性（R0阈值行为），为作物轮作、杀菌剂使用等防控策略提供量化依据，对可持续农业与粮食安全具有重要价值。

　　

章节亮点

模型构建

Yang与Wang[1]首次建立了基于微分方程的蛙眼叶斑病传播模型，该模型同时考虑了病原体在污染土壤中的内在动力学特性以及疾病传播的主要与次要途径。让我们来看看单位面积农田中的植株数量划分：

• S(t): 易感（健康）植株；

• E(t): 暴露于感染环境的植株；

• I(t): 已感染植株；

• R(t): 康复植株。

适定性

由于所有种群问题的解都必须保持非负且有界，因此证明解的正定性和有界性至关重要。我们由此得到以下结果：

S(t) = μN - (αI + βB)S - μS ≥ - (αI + βB + μ)S ≥ - (α sup_t∈DI(I) + β sup_t∈DI(B) + μ)S ≥ - (α‖I‖_∞ + β‖B‖_∞ + μ)S

通过分数阶积分可得：

S(t) ≥ S(0)E_γ[ - (α‖I‖_∞ + β‖B‖_∞ + μ)t ] ? t ≥ 0

同理可得：

E(t) ≥ E(0)E_γ[ - (μ + λ)t ],

I(t) ≥ I(0)E_γ[ - (μ + δ)t ],

R(t) ≥ R(0)E_γ[ - μt ],

B(t) ≥ B(0)E_γ[ - (r‖B‖_∞/k + τ)t ].

存在性与唯一性

将系统定义为：

G₁ = (t, S_h, E, I_m, R, B) = μN - (αI + βB)S - μS,

G₂ = (t, S_h, E, I_m, R, B) = (αI + βB)S - μE - λE.

平衡点

令系统(5)的右边等于0，可求得平衡点：

μN - (αI + βB)S - μS = 0,

(αI + βB)S - μE - λE = 0,

λE - μI - δI = 0,

δI - μR = 0,

rB(1 - B/k) - τB + ξI = 0.

无病平衡点（DFE）为：

P⁰(S⁰, E⁰, I⁰, R⁰, B⁰) = (N, 0, 0, 0, 0)

地方病平衡点（EE）为：

P₂(S, E, I, R, B*)

其具体表达式为：

S* = μN/(αI* + βB* + μ),

E* = (αI* + βB)S/(μ + λ),

I* = λE*/(μ + δ),

R* = δI*/μ,

B* = ξI*/(τ - r).

基本再生数

考虑以下子系统：

^c₀D_t^γE(t) = (αI + βB)S - μE - λE,

^c₀D_t^γI(t) = λE - μI - δI,

^c₀D_t^γB(t) = rB(1 - B/k) - τB + ξI.

使用下一代矩阵法[34]，定义：

F = [ 0, αS⁰, βS⁰; 0, 0, 0; 0, 0, 0 ]

V = [ μ+λ, 0, 0; -λ, μ+δ, 0; 0, -ξ, r-τ ]

局部稳定性

定理1

当基本再生数 R₀ < 1 时，无病平衡点 P⁰ 是稳定的。

证明

系统的雅可比矩阵为：

J = [ -αI-βB-μ, 0, -αS, 0, -βS;

αI+βB, -μ-λ, αS, 0, βS;

0, λ, -μ-δ, 0, 0;

0, 0, δ, -μ, 0;

0, 0, ξ, 0, -r - 2Br/k + τ ]

在无病平衡点 P⁰ 处，雅可比矩阵为：

J(P⁰) = [ -μ, 0, -αN, 0, -βN;

0, -μ-λ, αN, 0, βN;

0, λ, -μ-δ, 0, 0;

0, 0, δ, -μ, 0;

0, 0, ξ, 0, -r + τ ]

特征方程为：

f(q) = det( J(P⁰) - qI )

求得特征值：

q₁ = -μ, q₂ = -μ-λ, q₃ = -μ-δ, q₄ = -μ, q₅ = -r+τ.

由于所有特征值均为负，因此 P⁰ 是局部稳定的。

混沌控制

基于线性反馈控制技术，我们研究了受控设计的分数阶系统，系统(5)在其平衡点处被稳定。控制方程组为：

^c₀D_t^γS(t) = μN - (αI + βB)S - μS - Θ₁(S - S*),

^{c₀D_tγE(t) = (αI + βB)S - μE - λE - Θ₂(E - E*),}

^c₀D_t^γI(t) = λE - μI - δI - Θ₃(I - I*),

^c₀D_t^γR(t) = δI - μR - Θ₄(R - R*),

^c₀D_t^γB(t) = rB(1 - B/k) - τB + ξI - Θ₅(B - B*).

其中 Θ₁, Θ₂, Θ₃, Θ₄, Θ₅ 为控制参数，S, E, I, R, B* 为平衡点。

在无病平衡点 P⁰ 处，受控系统的雅可比矩阵为：

J(P⁰) = [ -μ-Θ₁, 0, -αN, 0, -βN;

0, -μ-λ-Θ₂, αN, 0, βN;

0, λ, -μ-δ-Θ₃, 0, 0;

0, 0, δ, -μ-Θ₄, 0;

0, 0, ξ, 0, -r+τ-Θ₅ ].

数值方案

文献表明，Caputo导数是模拟实际环境中幂律过程的最佳模型。为简便起见，我们将上述系统重写为：

H₁(S_h, E, I_m, R_s, B) = μN - (αI + βB)S - μS,

H₂(S_h, E, I_m, R_s, B) = (αI + βB)S - μE - λE,

H₃(S_h, E, I_m, R_s, B) = λE - μI - δI,

H₄(S_h, E, I_m, R_s, B) = δI - μR,

H₅(S_h, E, I_m, R_s, B) = rB(1 - B/κ) - τB + ζI.

应用分数阶积分后，我们得到：

S_h(t_k+1) = S_h(0) + (1/Γ(γ)) Σ_i=2^k ∫_ti^t_i+1 H₁(S_h, E, I_m, R_s, B) (t_k+1 - ψ)^γ-1 dψ,

E(t_k+1) = E(0) + (1/Γ(γ)) Σ_i=2^k ∫_ti^t_i+1 H₂(S_h, E, I_m, R_s, B) (t_k+1 - ψ)^γ-1 dψ.

结论

本研究采用分数阶算子探讨了大豆作物中蛙眼叶斑感染的动力学与稳定性。结合分数阶微积分（尤其是Caputo导数）的记忆与遗传特性，能够更精确、更细致地描述疾病随时间的动态行为。分析表明，基本再生数 R₀ 是形成平衡的关键因素。当 R₀ < 1 时，感染逐渐消亡；当 R₀ > 1 时，感染将持续存在，呈地方性流行。