通过时空MQ-RBF配置方法求解浅水波中的BBMB方程

《CMES - Computer Modeling in Engineering and Sciences》：Solving the BBMB Equation in Shallow Water Waves via Space-Time MQ-RBF Collocation

提出一种基于多二次径向基函数的空间时间配位法，用于高效求解Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程，通过时间空间统一结构消除传统两步计算，优化形状参数提升精度。

　　该研究提出了一种创新的单层无网格方法，即基于多二次径向基函数（MQ-RBF）的空间-时间配点法，用于求解本华-博纳-马霍尼-伯格斯（BBMB）方程。BBMB方程是描述浅水波动力学的重要非线性偏微分方程之一，其物理机制涵盖了非线性对流（波浪陡化）、色散（波浪扩散）和粘性耗散（能量损失）。传统求解此类方程的方法通常需要分步处理时间变量，导致计算过程较为繁琐。而本文方法通过将时间变量视为空间变量，构建了一个统一的空间-时间结构，从而实现了单层计算，省去了传统网格方法中的两步计算流程。此外，通过优化形状参数，MQ-RBF能够实现BBMB方程中非线性、色散和耗散项的高精度离散化。数值实验部分通过三个基准案例验证了该方法的有效性，展示了其在工程应用中的显著优势，特别是在浅水波动力学等领域的计算效率提升。

BBMB方程的非线性特征使其在解析求解方面存在较大挑战，因此，数值方法成为研究其物理现象的重要工具。现有文献中已经提出了多种数值方法，如四阶有限差分法、显式广义有限差分法、修改后的龙格-库塔法等。这些方法通常需要将时间导数与空间导数分开处理，进而形成多层计算结构。然而，这种方法在处理复杂几何形状或不规则分布的数据时存在一定的局限性。相比之下，无网格配点法无需传统网格生成，可以直接在离散配点上进行计算，节省了预处理时间并避免了网格生成的复杂性。为了克服传统方法的两层计算流程，本文引入了一种单层无网格方法，将时间导数重新表述为空间导数，从而实现对BBMB方程的高效求解。

本文提出的方法结合了MQ-RBF的特性，其能够在不同数据条件下灵活控制函数的平滑性。MQ-RBF被广泛应用于模拟地下水流动和反应输运等复杂问题，具有良好的适应性和计算精度。通过将时间变量作为新的空间变量，本文构建了一个新的空间-时间配点结构，使得BBMB方程的求解能够在单层计算中完成。这种方法不仅简化了计算流程，还提高了计算效率，适用于各种非线性偏微分方程的求解。

在具体实施过程中，首先需要将空间域和时间域划分为若干子区间，生成相应的配点。随后，通过MQ-RBF的线性组合形式对BBMB方程进行数值近似。通过将该近似形式代入BBMB方程及其初始和边界条件，可以得到一组代数方程。通过计算MQ-RBF的导数并应用到这些方程中，能够进一步求解出未知系数。最终，利用这些系数可以重构出BBMB方程的近似解。整个过程无需传统网格生成，大大减少了计算步骤，提高了效率。

为了验证该方法的性能，本文进行了三个数值实验。实验一中，BBMB方程被设定为一个具体的物理模型，其解的形式为已知的指数函数形式。通过调整形状参数，该方法在不同时间点上展示了较高的计算精度，并且计算时间相较于传统方法有所减少。实验二则采用了一个具有周期性初始条件的BBMB方程，其解为双曲余弦函数。在该实验中，形状参数对计算精度具有显著影响，通过合理选择形状参数，可以进一步提高计算效率和精度。实验三则针对另一种具有周期性初始条件的BBMB方程，其解为正弦函数。实验结果表明，该方法在不同时间点上均能提供较高的精度，并且其计算效率优于其他数值方法。

通过比较不同形状参数下的计算误差，可以发现该方法在不同情况下均能保持较高的精度，且计算时间显著减少。具体而言，在实验一中，形状参数为0.37时，计算误差最小，且计算时间较短。在实验二中，形状参数为0.37时，误差同样较小，且计算时间较优。实验三中，形状参数为2.75时，误差最低，且计算效率较高。这些实验结果表明，该方法在计算精度和效率方面均表现出色，适用于各种非线性偏微分方程的求解。

此外，该方法在处理复杂几何域和移动边界问题时表现出良好的适应性。其单层计算结构能够有效避免传统方法中因网格划分不均而导致的计算误差，同时保持较高的计算效率。这种方法在工程应用中具有广泛前景，特别是在浅水波传播和交通密度波等复杂问题中，能够提供精确的数值模拟工具。

综上所述，本文提出的空间-时间MQ-RBF配点法在求解BBMB方程方面展现出显著优势，其单层计算结构减少了预处理时间，提高了计算效率。通过优化形状参数，该方法能够实现对非线性、色散和耗散项的高精度离散化。数值实验表明，该方法在不同时间点上均能保持较高的精度，并且在计算效率上优于其他方法。未来的研究可以进一步优化该方法，使其适用于更复杂的工程问题，如多维非线性偏微分方程和反应输运问题。同时，该方法也可以结合其他先进技术，如Painlevé分析和神经网络，以提高其在实际应用中的适应性和准确性。