基于M-VCUT水平集子结构的数据驱动模型的晶格结构拓扑优化

《CMES - Computer Modeling in Engineering and Sciences》：Topology Optimization of Lattice Structures through Data-Driven Model of M-VCUT Level Set Based Substructure

本文提出基于多变量切割（M-VCUT）水平集的亚结构数据驱动模型，用于提升晶格结构拓扑优化的计算效率。通过离线构建包含亚结构刚度和体积的数据库，并利用CS-RBF插值预测任意配置的亚结构属性，避免了优化过程中重复的静态凝聚计算。数值实验表明，该方法显著减少计算时间，同时保持优化结果与直接计算的合规性高度一致。

　　在现代工程领域，轻质材料和结构设计正变得越来越重要，尤其是那些具有复杂几何特征和优良力学性能的晶格结构。这类结构因其高比强度和比刚度、丰富的几何多样性等特性，在多个工程应用中得到了广泛应用。然而，传统方法在处理晶格结构的拓扑优化时，常常面临计算效率低下的问题。这主要是由于晶格结构的微观特征非常精细，需要高密度的有限元网格来准确捕捉其力学行为，从而导致计算成本高昂。为了解决这一问题，研究者们提出了多种方法，包括微结构的均质化方法和扩展多尺度有限元方法等。然而，这些方法通常需要满足一些严格的条件，例如微结构的周期性分布或其尺度远小于宏观结构，而这在许多实际工程应用中并不总是能够满足。因此，一种新的方法被提出，即基于M-VCUT水平集的子结构数据驱动模型，用于晶格结构的拓扑优化。

### 1. 研究背景与意义

晶格结构因其独特的力学性能，如高比强度、高比刚度和良好的能量吸收能力，已被广泛应用于航空航天、生物医学、汽车制造等领域。然而，这些结构的拓扑优化通常涉及大量的计算资源，尤其是在处理高分辨率的有限元分析时。为了提高计算效率，学者们常常采用均质化方法，将微观结构视为均质材料，从而减少计算量。但这种方法在实际应用中受到限制，因为均质化假设可能无法准确反映晶格结构的真实性能。此外，扩展多尺度有限元方法和子结构方法虽然在一定程度上提升了计算效率，但它们对结构的周期性和尺度比有严格要求。

为了解决这些限制，本文提出了一种基于M-VCUT水平集的子结构数据驱动模型。该模型利用M-VCUT水平集方法来描述子结构，从而丰富子结构的配置多样性并确保子结构之间的连接性。此外，为了在优化过程中避免重复的静态凝聚，研究者们构建了一个数据驱动模型，通过离线阶段的子结构样本数据库，利用紧凑支撑径向基函数（CS-RBF）插值方法来预测子结构的凝聚刚度矩阵和体积。这种数据驱动模型能够在在线优化阶段直接使用，从而大幅减少计算时间。

### 2. 子结构的几何与力学模型

子结构的几何模型由M-VCUT水平集方法描述。M-VCUT是一种基于水平集函数的建模方法，能够生成具有不同配置的子结构，从而在拓扑优化中提供更大的设计空间。每个子结构由多个基本水平集函数和一个切割高度平面构成。基本水平集函数定义了子结构的基本形状，而切割高度平面用于控制子结构的分布范围。通过调整切割高度，子结构可以在全空到全实之间变化，从而实现对结构性能的优化。

在力学模型方面，子结构的刚度矩阵是通过静态凝聚方法获得的。静态凝聚是一种将子结构的内部自由度去除的方法，只保留边界节点，从而减少刚度矩阵的规模。通过这种方式，可以显著提高计算效率。然而，由于拓扑优化过程中子结构的配置会不断变化，静态凝聚需要在每次迭代中重复进行，这可能导致计算时间的增加。因此，研究者们构建了一个数据驱动模型，通过离线阶段的样本数据库，利用CS-RBF插值方法来预测子结构的刚度矩阵和体积。

### 3. 数据驱动模型的构建

数据驱动模型的构建分为两个阶段：离线阶段和在线阶段。在离线阶段，研究者们通过采样子结构配置空间，生成一个包含大量子结构样本的数据库。每个样本的切割高度范围被设定为[-0.4, 1.4]，并以0.2为步长进行采样。这样，每个子结构的刚度矩阵和体积可以通过静态凝聚方法计算并存储在数据库中。然后，利用CS-RBF插值方法，构建一个能够预测子结构刚度矩阵和体积的映射模型。

在在线阶段，当需要计算某个子结构的刚度矩阵和体积时，只需将当前的切割高度输入到数据驱动模型中，通过查找数据库中的最近数据点，并利用CS-RBF插值方法快速获得所需结果。这种方法避免了重复的静态凝聚计算，从而显著提高了计算效率。同时，研究者们验证了CS-RBF插值方法的准确性，结果显示其在预测子结构刚度矩阵和体积方面具有较高的精度。

### 4. 拓扑优化与灵敏度分析

在拓扑优化过程中，设计变量是子结构的切割高度，而优化目标是使结构的柔顺性最小化。同时，结构的体积需要满足一定的约束条件。为了进行灵敏度分析，研究者们采用伴随法来计算设计变量对柔顺性的导数。这些导数用于指导优化过程，使结构能够在满足体积约束的情况下，实现性能的优化。

在优化过程中，研究者们采用MMA（逐次逼近法）方法来求解优化问题。MMA方法是一种非线性优化算法，能够在每次迭代中逐步逼近最优解。通过设置移动限制参数为0.05，研究者们确保了优化过程的稳定性。此外，为了使优化结构更加平滑，研究者们还应用了节点平均方法。

### 5. 数值实验与结果分析

为了验证所提出方法的有效性和计算效率，研究者们进行了多个数值实验。在第一个实验中，研究者们优化了一个二维晶格结构，其中左下角固定，右下角受到垂直方向的力。优化后的结构柔顺性降低了约23.3%，而计算时间减少了约52.3%。这表明所提出的方法在计算效率方面具有明显优势。

在第二个实验中，研究者们优化了一个二维结构，其中左边缘固定，右上角受到单位集中力。优化后的结构柔顺性降低了约31.7%，而计算时间减少了约50.5%。这进一步验证了所提出方法的高效性。

第三个实验涉及热弹性晶格结构的优化。研究者们应用了所提出的方法，并考虑了温度变化对结构性能的影响。结果显示，随着温度的升高，结构的柔顺性增加，而体积约束保持不变。这表明温度是影响热弹性晶格结构优化配置的重要因素。

第四个实验则是一个三维晶格结构的优化问题。研究者们应用了所提出的方法，并使用了两个三维虚拟子结构。优化后的结构柔顺性增加了约41.6%，而计算时间减少了约52.5%。这表明所提出的方法在三维结构优化中同样有效。

### 6. 结论与展望

本文提出了一种基于M-VCUT水平集的子结构数据驱动模型，用于晶格结构的拓扑优化。该模型通过M-VCUT水平集方法描述子结构的几何形状，并利用CS-RBF插值方法构建数据驱动模型，从而在优化过程中避免重复的静态凝聚计算。数值实验结果表明，所提出的方法在计算效率和优化性能方面均优于传统方法。

然而，当前的研究中，CS-RBF插值方法本身涉及一定的计算开销，尤其是在处理三维问题时，计算时间较长。此外，优化结果中有时会出现细长的梁结构，这些结构在实际制造中可能难以实现。因此，未来的研究可以考虑引入多尺度优化方法，以确保优化结果满足制造条件。同时，可以进一步优化CS-RBF插值方法，以提高其在三维问题中的计算效率。