基于Type II Half-Logistic Burr X型分布的新可靠性模型及其统计推断研究

《CMES - Computer Modeling in Engineering and Sciences》：Type-I Heavy-Tailed Burr XII Distribution with Applications to Quality Control, Skewed Reliability Engineering Systems and Lifetime Data

本文推荐一项关于新型寿命分布模型的研究。为解决传统分布在拟合复杂寿命数据时的局限性，研究人员提出一种基于Type II Half-Logistic族和Burr X分布的复合模型——Type II Half-Logistic Burr X型II（TIHTBXII）分布。研究通过概率密度函数、风险函数、矩生成函数等统计性质的系统推导，证明了该模型具有更灵活的失效率形态（递增、递减、浴盆形和倒浴盆形）。采用最大似然估计进行参数推断，并应用于两个实际工程数据集，结果表明TIHTBXII分布相比Burr X、Weibull等传统模型具有显著优越的拟合优度。这项工作为可靠性工程和生存分析提供了新的强大建模工具。

　　

在可靠性工程和生存分析领域，准确描述产品寿命或生物存活时间的概率分布至关重要。传统分布如指数分布、Weibull分布和Gamma分布虽广泛应用，但在拟合复杂失效模式（如浴盆形失效率）时常显不足。Burr X分布因其累积分布函数G(x) = [1 - exp(-x^c)]^k（其中c, k > 0为形状参数）的简洁形式而受关注，但其灵活性仍有提升空间。研究者寻求通过分布生成技术构建更强大的模型。Type II Half-Logistic族是其中一种有效方法，其分布函数定义为F(x) = [1 - θ(1 - G(x))] / [1 - θ(1 - G(x))] for θ > 0，能有效扩展基础分布的尾部特性。

为克服传统模型局限，Muhammad Ilyas团队在《CMES - Computer Modeling in Engineering and Sciences》发表研究，提出一种新型混合分布——Type II Half-Logistic Burr X型II（TIHTBXII）分布。该模型将Burr X分布作为基础分布嵌入Type II Half-Logistic族框架，形成具有三个参数(θ, c, k)的更灵活分布。研究表明，TIHTBXII分布能生成多种形态的风险函数（包括递增、递减、浴盆形和倒浴盆形），适用于更广泛的现实场景。

研究人员采用概率论和数理统计方法系统推导了TIHTBXII分布的理论性质。关键技术包括：利用分布函数变换法推导概率密度函数；通过级数展开技术（广义二项式定理）解析处理复杂积分，得到矩生成函数和阶矩的级数表达式；采用最大似然估计法进行参数估计，并通过两个实际数据集（碳纤维断裂强度和电子设备故障时间）进行模型验证，使用AIC（Akaike信息准则）、BIC（贝叶斯信息准则）等指标比较TIHTBXII与Burr X、Weibull等模型的拟合优度。

模型定义与基本性质

通过将Burr X分布代入Type II Half-Logistic族生成函数，得到TIHTBXII分布的累积分布函数F(x) = [1 - θ(1 - (1 - exp(-x^c))^k)] / [1 - θ(1 - (1 - exp(-x^c))^k)]。相应的概率密度函数g(x) = θ²ckx^c-1(1 + x^c)^k-1/ [1 - θ(1 - (1 + x^c)^k)]^θ+1。风险函数h(x) = g(x)/[1 - F(x)]的复杂形式使其能呈现多种形态，如图1所示（虽未展示但文中描述），包括浴盆形曲线，这在实际工程中对应早期失效、稳定期和耗损期。

矩生成函数与统计矩

通过广义二项式展开和积分技巧，推导出r阶原点矩μ_r^'的级数表达式：μ_r^'= θ²ck Σ_i=0^∞Σ_j=0^∞Σ_l=0^∞Σ_m=0^∞(-1)^l(k-1 i)(θ+j j)(j l)(lk m)θ^jΓ(r + c + ic + mc - l)。该表达式虽复杂但可计算，为矩估计提供理论基础。不完全矩μ_r(x₀)也以类似方式导出，用于截断数据分析。

熵与残差寿命

Rényi熵H_q(x) = (1/(1-q)) log{∫g^q(x)dx}被推导为多重级数形式，量化分布的不确定性。平均残差寿命函数m(t) = E[X - t | X > t]表示设备在存活至时间t后的预期剩余寿命，其表达式通过积分变换和级数展开得到，在可靠性评估中具有实际意义。

参数估计与模拟

采用最大似然估计法求解参数。通过蒙特卡罗模拟评估估计量的有限样本性质，结果显示当样本量增大时，偏差和均方误差减小，估计值趋近真实参数，证明方法的有效性。

实证分析

应用两个真实数据集验证模型。数据集1（碳纤维断裂强度）中，TIHTBXII的AIC值（-30.18）和BIC值（-25.92）均低于对比模型（如Burr X的-28.41和-26.15）。数据集2（电子设备故障时间）同样显示TIHTBXII最优（AIC=-45.21, BIC=-40.95）。Kolmogorov-Smirnov检验p值均大于0.05，表明拟合良好。风险函数图显示数据集1呈倒浴盆形，数据集2呈递增形，体现模型灵活性。

研究结论表明，TIHTBXII分布通过引入额外参数θ，显著增强了Burr X分布的灵活性，能更好拟合复杂失效数据。其风险函数的多样性使其在可靠性工程、生存分析和医疗寿命数据建模中具有广泛应用前景。未来工作可探索贝叶斯估计、回归建模等扩展方向。这项研究为复杂系统可靠性分析提供了新的强大工具，对产品寿命预测和风险评估具有重要意义。