基于单刚体模型的三级跳远距离与相位比优化研究

本文推荐一项针对三级跳远运动力学建模的创新研究。为解决多体模型复杂性和实际应用难题，作者开发了单刚体模型（SRB），通过建立支撑阶段与飞行阶段的动力学方程，将起跳角度作为核心控制变量。研究验证了模型对世界纪录跳跃数据的重现能力，证实其可简化技术优化分析，为运动生物力学研究提供了新范式。

　　

在田径运动中，三级跳远以其极高的技术复杂性和对身体素质的严苛要求而闻名。运动员需要在不到两秒的时间内，连续完成 hop（单足跳）、step（跨步跳）和 jump（跳跃）三个紧密衔接的技术环节。这一过程涉及高达每秒10米以上的水平速度以及超过体重10倍的地面冲击力，任何微小的技术偏差都可能导致成绩的巨大差异。长期以来，教练员和研究人员一直试图回答一个核心问题：如何分配三个跳跃阶段的距离比例，即所谓的“相位比”（phase ratios），才能最大化总跳跃距离？是应该强调第一跳的 hop，还是最后一跳的 jump，抑或是寻求三者间的平衡？

尽管过去几十年间，运动生物力学领域积累了大量的实验观测数据，例如 Hay 和 Miller 对1984年奥运会决赛选手的经典研究，以及 Fukashiro 等人对 collegiate（大学）运动员的深入分析，但这些研究大多停留在现象描述层面。它们揭示了精英运动员在跳跃过程中质心（Center of Gravity, G）速度的变化规律，却未能提炼出一个普适的、能够指导技术优化的力学原理。复杂的多体模型（Multibody Models）虽然能更精细地模拟人体多环节的运动，但其庞大的自由度数量和繁复的参数设定使得它难以用于快速、大量的技术策略评估，更不用说清晰地揭示现象背后的物理本质。

正是在这一背景下，来自千叶工业大学的 Hiroki Okubo 和 Mont Hubbard 在《Journal of Biomechanics》上发表了他们的研究。他们独辟蹊径，选择了一条“回归基础”的建模路径。他们认为，对于理解三级跳远的核心力学机制而言，一个精心构建的简单模型，远比一个复杂但难以洞悉其物理意义的模型更有价值。他们提出的单刚体模型（Single-Rigid-Body Model, SRB）将实际上由多个环节构成的运动员简化为一个统一的刚体，重点精确描述其质心 G 的平动和绕质心的转动。该模型的核心目标在于，给定运动员的个体参数（身高、体重）和最后一步助跑起跳速度，通过设定三个阶段的起跳角度（takeoff angles）作为控制变量，即可近似计算出总距离和各阶段距离比例。

为了构建这一模型，研究人员主要运用了几个关键技术方法。首先是动力学方程的建立与简化，他们基于牛顿-欧拉方程，推导了支撑阶段质心平动和转动的控制方程，并通过冲量-动量原理（Impulse-Momentum Principles）和角动量守恒定律，将复杂的力-时间关系简化为起跳速度与起跳角度的函数关系。其次是关键运动学参数的标定与缩放，模型所需的惯性参数（如绕质心的转动惯量 I_G）、支撑高度（H_s）等并非直接测量，而是基于已有的人体测量学数据（如Erdmann的研究），根据运动员的身高（h）和体重（m）按比例进行缩放，这使得模型可应用于任何体型的精英男性运动员。第三是数值计算与实验数据拟合，模型对飞行阶段质心的轨迹进行了数值模拟，并考虑了空气阻力（k=0.4）的影响。模型的有效性通过将其计算结果与 Miller 和 Hay 报道的世界纪录保持者 Willie Banks (WB) 的实际比赛测量数据（包括详细的踏跳板速度、起跳角度和相位比）进行细致比较来评估。

2.1. 支撑与飞行距离

研究人员首先明确定义了三级跳远的总距离（L）由 hop (L_H)、step (L_S) 和 jump (L_J) 三个阶段距离相加而成。每个阶段的距离又进一步分解为起跳距离（takeoff distance）、飞行距离（flight distance）和着地距离（landing distance）。SRB模型的核心是估算质心 G 在每个阶段的运动轨迹，从而计算出这些分量。

2.2. 支撑阶段的SRB模型

在支撑阶段，模型将运动员视为一个具有恒定转动惯量 I_G 的刚体。通过分析地面反作用力 R 和可能存在的力偶 M 对质心 G 的平动和转动效应，建立了动力学方程。为了简化，模型将力-力偶系统等效为一个作用于点 C‘ 的单一力 R。一个关键的简化假设是，在整个支撑阶段，质心 G 的高度 H_s 保持不变。通过应用冲量-动量原理和关于点 C’ 的角动量守恒定律，模型推导出了起跳速度 v_to 与 touchdown（着地）速度 v_td、起跳角 φ_to 和着地角 φ_td 之间的数学关系（见原文公式10）。此外，模型引入了一个经验关系式，即支撑时间 t_s 与随后的水平起跳速度 v_{x to} 的乘积近似为一个常数参数 X_s（约为1.3米），这反映了运动员在支撑阶段移动距离的生理限制。

2.3. 支撑距离

模型考虑了支撑期间水平速度的非线性变化，通过取着地后瞬间和起跳时刻水平速度的平均值来估算平均支撑速度 v_{x s}，进而计算出支撑阶段的水平位移 x_s。起跳和着地距离则根据水平速度的比例进行分配。

2.4. 飞行

在飞行阶段，模型假设运动员在起跳时关于质心 G 的角动量为零，且在飞行过程中身体保持直立、不产生前倾或后仰的 pitching（俯仰）运动。质心 G 的轨迹通过数值求解考虑重力（g）和空气阻力（k）的运动方程得到，直到其高度在 hop 和 step 阶段降至支撑高度 H_s 以下，标志着飞行结束和下一次着地开始。

2.5. 最终着地

对于 jump 阶段的最终着地，模型没有进行复杂的动力学模拟，而是采用了一种基于世界纪录跳跃中观察到的几何相似性假设。即假设对于任何运动员，其质心 G 在沙坑中的着地高度 H_J 与质心 G 到沙坑痕迹点的水平距离 X_J 的比值是恒定的，与 Willie Banks 的着地姿势成比例。

3.1. 如何使用SRB模型

模型的应用需要输入运动员的身高、体重、最后一步助跑起跳速度以及自主选定的 hop, step, jump 三个起跳角度。模型随后会计算出各阶段的起跳速度、飞行距离、支撑距离，最终得到总距离和相位比。研究以 Willie Banks (WB) 的世界纪录一跳为例，详细演示了计算过程。通过输入WB的身高（1.91米）、体重（77.0公斤）、测量得到的最后一步起跳速度（10.35 m/s, 角度近乎水平）以及三个起跳角度（φ_toH=13.30°, φ_toS=10.60°, φ_toJ=20.35°），模型成功计算出了与实测值高度吻合的总距离（17.95米）和相位比（35.1%：27.6%：37.3%），验证了模型的有效性。

3.2. SRB模型准确性：计算与测量的比较

为了评估模型的普适性和准确性，研究人员将模型预测结果与 Miller 和 Hay 以及 Hay 和 Miller 报道的其他几位精英运动员（如 Mike Conley, Charles Simpkins, Al Joyner）及12名奥运会决赛选手的平均数据进行了比较。考虑到实验测量数据（特别是由影像分析得出的速度和角度）可能存在显著误差，研究没有直接使用报道的、可能不精确的起跳参数作为输入，而是寻找了一组在实验误差范围内、能使模型计算结果与实测总距离和相位比精确匹配的输入参数。比较结果表明，对于WB、四位选手的平均值（AVE4）以及十二位选手的平均值（AVE12），模型只需要对报道的起跳角度和速度进行微小的、在合理误差范围内的调整，就能完美重现其跳跃表现。这表明SRB模型能够很好地描述“典型”精英运动员的跳跃力学。然而，对于个别运动员（如Mike Conley），所需的参数调整较大，这可能暗示这些运动员使用了某些偏离模型基本假设（如身体始终保持直立）的特殊技术，或者也进一步印证了原始测量数据可能存在较大不确定性。

3.3. SRB模型与现有多体模型的比较

研究承认，多体模型在描述人体细节运动方面具有优势，但其复杂性也导致了优化困难、计算量大、物理机理不直观等问题。SRB模型的优势在于其简洁性，它通过将支撑阶段复杂的力作用效应凝聚为起跳角度这一关键控制变量，使得优化问题得以大幅简化，更易于揭示三级跳远技术的底层力学规律，为教练员和运动员提供了更直观、更易操作的理论指导工具。

本研究成功开发并验证了一个用于三级跳远生物力学分析的单刚体模型。该模型的核心贡献在于，它将最大化总距离这一复杂问题，清晰地归结为在给定助跑速度下，对三个起跳角度的序列选择问题。通过将支撑阶段的动力学效应参数化，模型有效地隔离了起跳角度的控制作用。与现有实验数据的对比表明，该模型能够较好地重现精英运动员的跳跃表现，尤其适用于描述技术动作相对规范的运动员。尽管模型进行了一系列简化假设（如恒定的支撑高度、飞行中零角动量等），但其结果证明了这些简化在捕捉三级跳远核心力学机制方面的合理性。这项研究不仅为定量分析三级跳远技术提供了新的计算工具，更重要的是，它凸显了简单物理模型在理解复杂运动现象中的强大力量——有时，最深层的洞察恰恰来源于最简洁的表述。该模型为后续深入研究不同体型、不同技术风格运动员的最佳技术策略奠定了坚实的基础，具有重要的理论意义和潜在的应用价值。