闭曲面上的积分梯度估计及其在模空间边界附近的几何应用

《Canadian Mathematical Bulletin》：INTEGRAL GRADIENT ESTIMATES ON A CLOSED SURFACE

本文针对闭黎曼曲面上由带符号Radon测度驱动的拉普拉斯方程弱解，建立了与度量选择无关的Lp梯度估计。研究者通过引入具有有界积分曲率的度量g'=e2ug，利用二次面积界条件，在局部共形坐标下推导出梯度估计，解决了当复结构趋于模空间边界时Hélein收敛定理在坍缩情形下的局限性问题，为Willmore泛函变分问题提供了新工具。

　　

在几何分析领域，闭曲面上的共形度量变换问题一直备受关注。当研究曲面嵌入高维空间时的收敛性（如Hélein收敛定理描述的情形）时，若复结构趋于模空间的边界，传统梯度估计方法会因常数依赖于度量而失效。这导致在曲面坍缩（collapse）情况下难以获得有意义的极限度量，严重制约了Willmore泛函等变分问题的研究进展。

为解决这一难题，发表在《Canadian Mathematical Bulletin》上的这项研究提出了一个创新性的理论框架。李雨翔和孙荣泽通过分析闭黎曼曲面(Σ, g)上满足-Δ_gu=μ的弱解（其中μ为带符号Radon测度），建立了与度量g选择无关的梯度估计。该方法的核心在于将度量g'=e^2ug视为有界积分曲率度量，利用其满足的二次面积界条件，在局部共形坐标下推导出梯度估计。

研究团队主要采用了以下关键技术方法：首先利用Brezis-Merle估计处理Radon测度驱动的方程；其次通过有界积分曲率度量理论建立几何框架；然后运用共形不变性和局部坐标变换技术；最后结合双曲几何中的Collar定理处理模空间边界情形。特别值得注意的是，研究过程中还涉及对闭曲面样本的几何结构分析。

梯度估计的建立

通过引入有界积分曲率度量的概念，研究者证明了当总曲率有界时，度量g'满足二次面积增长条件。利用这一几何性质，结合blow-up分析方法，在二维圆盘上建立了与度量无关的梯度估计。关键引理3.3表明，对于具有二次面积界的度量，当高斯曲率测度足够小时，梯度估计成立。

主定理的证明

定理1.1的证明采用几何方法：选取光滑背景度量g，构造共形度量g'=e^2ug。通过证明d_g'是完备距离函数，并应用有界积分曲率度量的面积比较定理，得出梯度范数E_p(u)和E_a,p(u)均被总变差|μ|(Σ)控制。对于 collar区域（环带区域）的估计，则通过覆盖引理和尺度分析实现。

常曲率曲面的应用

在平坦（K_g=0）和双曲（K_g=-1）曲面的具体情形下，研究者得出了更精确的梯度估计。推论1.4给出了球面内梯度积分的线性增长估计，而(1.4)和(1.5)则分别给出了平坦和双曲情形下的L^p范数估计，其中双曲情形的常数依赖于曲面的单射半径。

本研究建立了闭曲面上与度量无关的积分梯度估计理论，解决了模空间边界附近梯度估计的难题。方法的核心创新在于将分析问题转化为有界积分曲率度量的几何问题，突破了传统估计对度量参数的依赖性。该成果不仅为Hélein收敛定理的坍缩情形提供了理论支持，还为Willmore泛函、共形几何等领域的变分问题提供了新工具。特别是对Green函数梯度的估计结果，在几何偏微分方程研究中具有广泛应用前景。