二阶系统输出反馈特征值配置的参数化方法及其在振动控制中的应用

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Eigenvalue assignment by output-feedback with reduced sensor-actuator design

本文针对二阶线性系统，提出了一种基于静态输出反馈的特征值配置参数化方法。研究人员通过构建反馈矩阵，解决了系统极点配置问题，实现了闭环系统的稳定性和性能优化。该方法避免了矩阵求逆运算，提升了计算效率，为结构振动控制等领域提供了新的设计思路。

　　

在工程系统控制领域，二阶微分方程模型广泛应用于描述机械振动、结构动力学等物理系统。这类系统的稳定性与动态性能直接取决于其特征值分布。然而，由于传感器布设成本与硬件限制，实际工程中往往无法获取全部状态变量，只能通过有限输出测量实现反馈控制。这引出了二阶系统的输出反馈特征值配置问题——如何设计静态输出反馈控制器，使闭环系统具备期望的动态特性？

传统方法常将二阶系统转化为一阶形式后应用经典控制理论，但该过程需对质量矩阵求逆，当矩阵病态或含不确定参数时易引入数值误差。针对这一瓶颈，论文提出了一种直接处理二阶模型的参数化特征值配置方法。该方法通过解算特征向量方程，分阶段配置共轭特征值对，并利用零空间理论构建含自由参数的反馈矩阵通解。

研究团队首先建立了包含加速度测量的广义输出反馈框架。通过引入右特征向量与左特征向量参数化过程，将非线性特征值分配问题转化为线性矩阵方程求解。算法核心在于分两步构造反馈矩阵：第一阶段通过右特征向量方程配置部分极点，第二阶段利用左特征向量完成剩余极点配置。该方法突破了传统算法对矩阵可逆性的依赖，且提供的参数化形式为控制器鲁棒性优化预留了设计自由度。

关键技术方法包括：基于矩阵核空间的特征向量参数化技术，利用矩阵束(M_i, N_i)构造特征向量通解；分阶段极点配置策略，通过秩条件判定实现特征值分组配置；输出反馈矩阵的广义逆求解技术，采用穆尔-彭罗斯逆处理欠定方程。对于含加速度测量的情形，通过等效系统变换将加速度反馈转化为位移/速度反馈的组合形式。

主要结果

1. 1.
   参数化特征值配置定理：证明了当系统满足可控可观性条件且传感器/执行器数量满足m+p≥2n+1时，存在静态输出反馈使闭环系统具有任意指定特征值分布。该结论通过构造性证明给出了反馈矩阵的显式参数化形式。
2. 2.
   降阶传感/驱动方案：建立了最小传感器数量的判定准则，指出当配置p-1个特征值需至少p个传感器，配置剩余特征值需m个驱动器。通过特征值集合的智能划分，可实现对特定自由度子集的局部控制。
3. 3.
   加速度测量融合算法：推导了加速度反馈与位移/速度反馈的等效转换公式，表明加速度传感器可等效为特定增益下的位移/速度传感器组合，为混合传感方案提供了理论依据。

研究通过严格数学推导验证了算法的通用性，特别讨论了特征值重合、复共轭极点等特殊情形的处理方法。提出的SOPEA(Second Order Parametric Eigenvalue Assignment)算法通过数值案例验证了其在振动抑制系统中的有效性，相较于传统一阶化方法，在条件数较大的质量矩阵情况下仍保持数值稳定性。

这项研究的意义在于为二阶系统提供了直接的特征值配置工具，避免了模型降维引发的误差。参数化公式为控制器鲁棒优化提供了可行空间，而最小传感/驱动结论对降低控制成本具有实用价值。成果对航空航天结构控制、车辆悬架系统等工程领域具有推广应用前景。