一种利用FRF曲率更新响应面模型的方法，用于结构损伤识别

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A response surface model updating method using FRF curvature for structural damage identification

结构健康监测中基于频响函数曲率的响应面模型更新方法研究。提出将频响函数曲率作为敏感响应特征，构建二次响应面模型，结合最优实验设计降低计算复杂度，成功实现对称结构及边界区域损伤的精准定位与量化，验证了该方法在数值模拟和铝制 Warren 桁架实验中的有效性，并建立刚度损失因子（SRF）评估体系。

　　本研究提出了一种基于响应曲面方法（RSM）的新型结构损伤识别模型更新方法，该方法通过利用频率响应函数（FRF）的曲率作为敏感响应特征来提高模型的准确性和效率。传统的有限元模型更新技术常常面临收敛问题和有限的损伤定位能力，特别是在对称结构或测量条件有限的情况下。尽管现有的RSM方法显示出潜力，但它们通常依赖于模态频率或模态形状，这会受到空间分辨率或数据采集需求的限制。为了克服这些挑战，本研究引入了FRF曲率作为RSM框架中的替代损伤敏感特征。FRF曲率是FRF幅值或实部和虚部的二阶空间导数，它对局部刚度或质量变化具有高度敏感性，并且相较于模态参数，受边界条件影响较小。例如，Kumar和Reddy的研究表明，虽然模态频率的变化相对较小（1.3%到4.1%），但在存在损伤的情况下，FRF曲率的变化更加显著。这表明，基于曲率的FRF可以作为更敏感和可靠的结构异常检测指标，特别是在模态特征不足的情况下。

除了其敏感性，FRF曲率还提供了计算上的优势。传统的基于频率或模态形状的更新方法需要重复的特征值分解和模态形状相关性分析，导致计算复杂度达到O(n2)至O(n3)，其中n表示系统规模。相比之下，曲率提取步骤的计算复杂度仅与频率点数成线性关系（O(n)），因为其仅涉及对FRF谱进行数值微分。在本研究的框架中，通过两个机制实现整体效率的提升：一是避免昂贵的模态分析，二是利用RSM替代重复的完整有限元分析以进行优化。

响应曲面模型的构建采用优化的实验设计（DOE）技术，以描述结构参数与相应FRF曲率值之间的关系。本研究中，FRF曲率在第一共振或反共振频率的96%处进行评估，这一选择基于Mondal等人（2022）的研究，他们指出在自然频率的95%至96%或105%至106%范围内，FRF曲率表现出最佳的损伤检测性能，即使在2%至3%的随机噪声下也能保持较高的灵敏度。这一频率区域的选取验证了96%频率点作为曲率基损伤识别的可靠性指标。

在构建RSM模型时，采用二次多项式来建模设计变量（DV）与响应之间的关系，因为其具有灵活性和对二阶相互作用的充分表示能力。因此，一般形式的RSM方程被转化为二次多项式，如式（3）所示，其中β?、β?、β??和β??分别是回归系数，x?表示DV，x?x?表示交互项，x?2表示二次项。由于FRF曲率被选为响应，且每个结构元件的弹性模量作为DV，该模型进一步被简化为式（4）所示的形式，其中E?表示初始弹性模量，H″表示FRF曲率，ε为误差项。

为了评估所构建模型的质量，采用统计验证方法，包括决定系数R2、调整后的R2和预测R2。R2衡量模型拟合数据的程度，其值越接近1，说明模型拟合效果越好。然而，由于R2可能因包含无关项而被人为夸大，因此还需要考察调整后的R2和预测R2。理想情况下，这些值应接近1，并且相互之间的差异不超过0.2。不显著的预测因子会降低调整后的R2和预测R2，从而作为模型优化的依据。

模型更新随后进行，以获得调整后的弹性模量E'?。与传统的有限元模型更新相比，该方法利用计算高效的RSM模型，显著减少迭代时间和支持可持续实践。模型更新过程采用MATLAB?的“fgoalattain”函数来解决多目标优化问题。目标函数如式（8）和（9）所示，其中ω为权重向量，γ为虚拟变量，lb和ub分别表示下限和上限。在数值模拟中，H″exp是从已知损伤结构的有限元模型中提取的实验数据。设计变量x，对应于初始弹性模量E?，通过迭代更新，直到优化收敛或满足停止条件。一旦获得更新后的FRF曲率值，将其与未损伤结构的实验分析结果进行比较。如果比较结果满足精度要求，则进入下一阶段；否则，主RSM模型需要进一步优化。

在第三阶段，利用前一阶段获得的E'?值构建次级RSM模型。该值作为新的DOE过程的输入参数，再次计算FRF曲率响应，并开发和验证次级RSM模型。值得注意的是，实验中检测到的损伤结构的FRF曲率值被用于更新次级RSM模型。最终输出提供了损伤条件下的弹性模量值，称为E?。

最后，在第四阶段，方法专注于损伤识别。通过比较损伤和完整条件下的模量值，即E?与E'?，可以计算出刚度退化因子（SRF），该因子定量指示结构元件的刚度退化程度。SRF值为1表示刚度完全丧失，而值为0表示元件未受损。

本研究通过数值分析和实验验证来发展基于RSM的模型更新方法。首先，采用单个数值模型进行分析，该模型基于Ren和Chen（2014）以及Umar、Bakhary和Abidin（2016）的研究。该模型为一个6米长、0.2米×0.25米截面的钢梁，弹性模量为32 GPa，密度为2500 kg/m3，泊松比为0.2。模型被离散化为15个元素和16个节点，如图4所示。使用MATLAB?中的结构动力学工具箱（SDTools）建模完整和损伤配置。模型的有效性通过将计算出的自然频率与先前研究结果进行比较来验证，如表1和表2所示，结果显示出高度一致性和极小的百分比误差，证实了模型在后续分析中的可靠性。

进行敏感性分析以确定最适合RSM模型更新的DOE技术、设计空间和测量点配置。研究评估了三种常用的DOE方法：D-最优、CCD和BBD。为了评估其在结构损伤识别中的性能，模拟了七种损伤场景，通过减少特定元素的弹性模量来模拟不同的材料退化程度。在某些情况下，弹性模量从22.4 GPa减少到19.2 GPa，以模拟不同的损伤严重程度。1到6号场景涉及单个损伤点，对称地靠近边界条件。而第7号场景则代表多个损伤场景。所有损伤场景均使用1N的冲击力在节点9处进行激发。

设计空间的定义是RSM发展的关键因素之一。它界定了预期最优响应的实验区域。本研究探讨了三种不同的设计空间，分别对应于不同的弹性模量值范围。第一个设计空间（DS90）覆盖从10%到100%的原始弹性模量，允许对结构行为进行广泛探索。第二个（DS60）范围较窄，从40%到100%。第三个（DS40）则集中在60%到100%的范围内。这些逐步缩小的范围有助于更精确地评估系统对刚度变化的动态响应。具体范围如表4所示。

此外，本研究还旨在探讨测量点密度对损伤检测准确性的影响，如Sukri等人（2024）所进行的实验。为此，将梁划分为不同层次的离散化，即10个元素和11个节点、15个元素和16个节点、20个元素和21个节点，如图5所示。为了进一步挑战模型，引入了三种不同严重程度的损伤场景（5%、10%和20%的刚度退化）。这一设置有助于评估不同测量点数量和分布对模型检测和定位损伤能力的影响。这些结果有助于更深入地理解最优传感器布置策略，旨在提高损伤识别系统的准确性和鲁棒性。

为了验证所提出的基于RSM的模型更新方法的效能，进行了实验模态分析。选择了一个Warren桁架结构进行实验验证，因其结构复杂性，代表了现实世界中的桥梁和框架等应用场景。桁架的尺寸如图6和图7所示。每根桁架杆件的截面积为0.012米×0.012米，由6082-T6铝合金制成，弹性模量为71 GPa，密度为2700 kg/m3，泊松比为0.33。固定边界条件被施加以模拟受限行为。为了评估方法的鲁棒性，故意松动特定节点的连接件，模拟局部损伤。通过确保有限元模型和实验Warren桁架模型具有相同的材料和几何特性，验证了两者的相似性。有限元模型的体积为8.5×10??立方米，计算质量为2.295公斤，与实验质量2.3公斤非常接近。这一微小差异被认为是可忽略的。有限元几何结构基于物理桁架的精确测量。

实验模态分析使用了Dytran Dytranpulse TM5800B4仪器化的冲击锤（钢头，灵敏度：10.17 mV/lbf），因其高效的能量传递和耐用性。由于系统的线性行为，FRF在冲击强度上保持一致。使用十二个Dytran 3133A1加速度计，通过临时蜡基粘合剂固定在桁架上，以确保一致的位置和可重复性。激励和响应信号使用LMS SCADAS Mobile 16通道数据采集（DAQ）系统进行采集，并在Siemens Simcenter Testlab中处理以提取FRF。在测试前，加速度计进行了校准以确保准确性，并控制了实验室环境条件以最小化外部噪声和变异性。在所有12个节点上进行测量，并在节点4处施加激励，这是基于初步模态分析确定的，以确保对主导模态的有效激励。每次测试重复三次，并对结果进行平均以提高可靠性。完整的实验设置如图8所示。

主RSM模型和次级RSM模型的构建采用了之前数值分析中确定的最优DOE。模型质量通过统计指标进行评估，包括R2、调整后的R2和预测R2。对于完整结构，实验FRF曲率值被输入MATLAB以更新主RSM模型。更新后的参数用于生成FRF曲率，与实验数据进行比较以评估准确性。对于损伤的桁架，次级RSM模型通过故障配置的实验FRF曲率值进行更新。从这两个RSM模型中获得的参数用于计算SRF，从而作为结构损伤识别的基础，完成所提出方法的验证。

研究通过数值分析和实验分析展示了该方法在各种损伤场景和元素配置中的高准确率、灵敏度和特异性。该方法在较高刚度退化水平（10%和20%）下表现出最佳的损伤定位和检测能力，即使在稀疏测量数据的情况下也能保持良好的性能。实验结果进一步验证了该方法的鲁棒性和实际可行性。

本研究的结论表明，通过将FRF曲率整合到RSM模型更新框架中，提出了一种高效且鲁棒的结构损伤识别方法。尽管传统研究中使用RSM与模态频率和模态形状相结合，但本研究强调了FRF曲率这一尚未充分探索的高灵敏度损伤指标。该方法通过三个阶段进行：（1）使用FRF曲率开发RSM模型；（2）选择最优的DOE；（3）通过数值模拟和实验模态分析进行验证。模型更新分为两个阶段，通过主和次级响应曲面模型确保参数收敛并提高预测准确性。

FRF曲率在第一共振频率的96%处表现出对结构异常的显著捕捉能力。在评估的DOE技术中，BBD方法表现出最佳性能，特别是在边界附近的损伤或多个损伤位置时。更狭窄的设计边界也提高了预测准确性，通过增加数据密度。涉及5%、10%和20%刚度退化的模拟展示了该方法在稀疏测量数据下仍能保持一致的损伤定位和检测准确性。实验结果进一步验证了该方法的鲁棒性和实际可行性。

尽管该方法在损伤识别方面表现出色，但仍存在一些局限性。例如，在量化多个低水平损伤的严重程度时，其准确性仍然受到限制。验证仅限于特定的结构配置，且结果可能受到环境变量（如温度和湿度）、边界条件不确定性和有限元建模简化的影响。此外，对高精度实验数据的依赖在不受控的现场条件下可能带来挑战，因为传感器布置的不确定性或测量噪声可能导致显著的偏差。

为了克服这些限制，未来的研究应考虑以下几个方面：进行专门的噪声敏感性分析，使用受控的随机噪声模拟和现实测量条件下的实验测试；扩展验证到更大和更复杂的结构（如多跨桁架和框架装配），以评估方法的可扩展性和鲁棒性；进行系统性的边界条件敏感性分析，以量化关节柔性的影响；整合统计过滤或阈值技术，以抑制轻微的误报；将环境和操作变量纳入框架；研究该基于FRF曲率的RSM方法在时间依赖响应问题中的应用，因为在长时间周期内传统RSM方法的准确性可能会下降；开发用户友好的软件工具，以促进工业应用；探索将RSM与机器学习方法（如人工神经网络）结合，以增强预测能力和效率。

总之，本研究提出了一种有效且鲁棒的基于FRF曲率的RSM模型更新方法，该方法在研究和实际工程环境中具有广阔的应用前景。